Электроемкость, конденсаторы

Если двум, находящимся на некотором расстоянии друг от друга, проводникам сообщить электрические заряды (q1 и q2), между ними появится электрическое поле. Разность потенциалов (Δφ) в нём будет определяться величинами сообщённых зарядов и формой, которую имеют проводники. Разность потенциалов между 2 точками постоянного во времени и однородного электрического поля называют напряжением (U).

Заряды, сообщённые проводникам, могут быть оба положительными, оба отрицательными или иметь разные знаки. Последний случай при равных абсолютных значениях зарядов нашёл в физике и электротехнике наибольшее применение и поэтому нам особенно интересен.

Электроемкость

В подавляющем большинстве случаев его толщина много меньше размеров обкладок.

В системе СИ электроёмкость измеряют в Фарадах. Один Фарад равен электроемкости конденсатора, при которой заряд, равный 1 Кулону, создаёт между его пластинами напряжение в 1 Вольт.

\[1 \Phi=\frac{1 \mathrm{~Kл}}{1 \mathrm{~B}}\]

Ёмкость в 1 Фарад – величина очень большая. На практике чаще всего используют мили фарады (одна тысячная фарада), микрофарады (одна миллионная), нанофарады (одна миллиардная), пикофарады (10 в минус 12-й степени).

Обычно такое поле не велико и при решении многих (но далеко не всех) задач его наличием можно пренебречь.

Абсолютную величину напряжённости каждой из обкладок можно выразить формулой:

\[E_{1}=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}}\].

Где σ это плотность электрического заряда на плоскости. По принципу суперпозиции полная величина напряжённости поля конденсатора равна сумме напряжённостей полей от каждой из его обкладок.

\[\vec{E}=\overrightarrow{E^{+}}+\overrightarrow{E^{-}}\]

Т. к. между пластинами векторы \[\overrightarrow{E^{+}} \text {и } \overrightarrow{E^{-}}\] параллельны, полную напряжённость можно вычислить по формуле \[E=2 E_{1}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\].

Вне пластин поля каждой из них компенсируют друг друга, и потому общая их напряжённость равна нулю.

Как вычислить электроемкость плоского конденсатора

Вспомним, как ёмкость зависит от заряда пластин и разности потенциалов между ними. Это формула \[\mathrm{C}=(\mathrm{q} / \Delta \varphi) . \text { Заряд } \mathrm{q}=\sigma * \mathrm{~S}, \mathrm{~S}\] – площадь одной обкладки.

Разность потенциалов в однородном электростатическом поле равна напряжению и вычисляется по формуле \[\Delta \varphi=\mathrm{E}^{*} \mathrm{~d}\]

Подставляем эти значения в формулу для ёмкости. В результате получаем:

Т. к. электрическая постоянная ε0 равна σ/E в итоге получаем \[C=\frac{q}{\Delta \varphi}=\frac{\sigma \cdot S}{E \cdot d}=\frac{\varepsilon_{0} S}{d}\].

Теперь давайте определим электроемкость конденсатора в форме сферы и цилиндра.

Сферический конденсатор

\[\varphi_{1}-\varphi_{2}=\int E d x=\int \frac{k Q d r}{r^{2}}=k Q\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)\] т. к. \[C_{c \Phi}=\frac{Q}{k Q\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)}=\frac{4 \pi \varepsilon \varepsilon_{0} R_{1} R_{2}}{R_{2}-R_{1}}\]

У нас R2 -R1 << R1. Это значит, что R1 и R2 можно принять равными R, тогда произведение радиусов в формуле можно будет считать квадратом R.

R2 – R1=d

Исходя из того что \[C_{c \Phi}=\frac{4 \pi \varepsilon \varepsilon_{0} R^{2}}{d}\] и \[S_{c \Phi}=4 \pi R^{2}\].

В итоге получаем \[C=\frac{\varepsilon \varepsilon_{0} S}{d}=\frac{4 \pi \varepsilon \varepsilon_{0} R^{2}}{R_{2}-R_{1}}\].

Цилиндрический конденсатор

Для упрощения расчётов расположим их на одной оси.

Если пренебречь краевыми эффектами, то \[\varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon \varepsilon_{0}} \ln \left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)=\frac{q}{2 \pi \varepsilon \varepsilon_{0} l} \ln \left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)\]

\[C=\frac{q}{\varphi_{1}-\varphi_{2}}=\frac{2 \pi \varepsilon_{0}}{\ln \left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)}\].

Теперь вы знаете, чему равна электроемкость конденсатора, давайте рассмотрим их соединения в электрической цепи.

Расчёт электроемкости батареи конденсаторов

У параллельно соединённых конденсаторов одинакова разность потенциалов между обкладками Q1= С1 (φА- φВ), Q2= С2 (φА- φВ), Q3 = С3 (φА- φВ). Заряд батареи складывается из зарядов каждого из отдельных конденсаторов, в неё входящих. Поэтому легко понять почему

\[Q=\sum_{i-1}^{N} Q_{i}=\sum_{i=1}^{N} C_{i}\left(\varphi_{\mathrm{A}^{-}} \varphi_{\mathrm{B}}\right)\]

Суммарная ёмкость батареи при таком раскладе равна

\[C_{\text {парал }}=\frac{Q}{\varphi_{A}-\varphi_{B}}=\sum_{i=1}^{N} C_{i}\]

Выходит, что при параллельном соединении ёмкости просто складываются.

При последовательном соединении конденсаторов ситуация будет совершенно другой.

В этом случае заряды обкладок всех входящих в батарею конденсаторов равны по абсолютной величине. Разность потенциалов на её концах равняется сумме разностей потенциалов на каждом из них. В виде формулы можно записать таким образом Dj=Dj1 + Dj2 + ….+ Dj.

Для каждого из конденсаторов батареи справедливы соотношения:

\[\frac{1}{C_{\text {посл }}}=Q \sum_{i=1}^{N} C_{i}\].

Из этого следует однозначный вывод, что при последовательном соединении ёмкость батареи всегда меньше ёмкости любого из её конденсаторов.

Электроемкость конденсатора колебательного контура

Мы для вычисления ёмкости будем рассматривать упрощённую его схему, состоящую только из конденсатора и катушки. Сопротивление соединяющих их проводников положим равным нулю. Сопротивлением катушки и излучением электромагнитных волн тоже пренебрегаем. Такой контур называют идеальным.

Придадим обкладкам конденсатора заряды –Q и +Q. В начальный момент времени электроемкость конденсатора контура будет \[W_{C}=\frac{Q^{2}}{2 C}\].

Это максимальное значение ёмкости конденсатора в контуре. Выше него никак не будет.

Если замкнуть конденсатор на катушку, он начнёт разряжаться, возникнет электрический ток. В катушке появится и станет возрастать магнитное поле. В максимуме, когда конденсатор полностью разрядится, энергия порождённого током поля будет \[W_{L}=\frac{1}{2} L I^{2}\].

Полная энергия системы останется постоянной и равна \[W_{\text {полн}}=\frac{1}{2}\left(\frac{Q^{2}}{C}+L I^{2}\right)=\mathrm{const}\].

Электроемкость конденсатора, энергия которого известна, из приведённых формул вычисляется достаточно легко:

C=Q²/(2W-LI²)

В контуре станут происходить гармонические колебания, общее их уравнение \[\ddot{Q}+\frac{1}{L C} Q=0\].

Его решение: \[Q(t)=Q_{m} \cos \omega_{0} t\]

Для силы тока и напряжения получим

\[I=\frac{d Q}{d t}=-\omega_{0} Q_{m} \sin \omega_{0} t=I_{m} \cos \left(\omega_{0} t+\frac{\pi}{2}\right)\], \[U_{C}=\frac{Q}{C}=\frac{Q_{m}}{C} \cos \omega_{0} t=U_{m} \cos \omega_{0} t\].

Чтобы получить формулу электроемкости конденсатора колебательного контура в любой момент времени, следует обе части

\[U_{C}=\frac{Q}{C}=\frac{Q_{m}}{C} \cos \omega_{0} t\]

Умножить на C и поделить на Uc.

В результате получим: \[C=\frac{Q_{m}}{U_{C}} \cos \omega_{0} t\].