Угловое ускорение

Нам уже известно понятие ускорения тела. Так именуют величину, характеризующую изменение его скорости. Также нам известно понятие угловой скорости. Для характеристики этого изменения используют величину, называемую угловым ускорением. Рассмотрим его особенности и использование.

Определения углового ускорения тела. Среднее и мгновенное угловое ускорение

Слово «кинематическая» означает, что движение рассматривается без учёта действия на тело сил, независимо от них. Обозначим промежуток времени как Δt. Изменение угловой скорости за этот промежуток обозначим как Δω. Отношение Δω/Δt называют средним угловым ускорением. Среднее угловое ускорение равно угловой скорости за определённый интервал времени. Однако, как она себя вела, например, в самом его начале, середине или конце ничего не скажешь.

Если мы будем выбранный нами интервал времени постоянно уменьшать, изменение скорости получится описывать всё более и более точно. В идеале, чтобы Δt вообще стремился к нулю:

ε = lim (Δt→0)(Δω/Δt) = dω/dt = d²φ /d²t

Так мы перешли ко второму определению углового ускорения, только оно уже не среднее, а, как говорят, мгновенное.

Угловое ускорение тела равно:

ε = dω/dt = d²φ /d²t

Размерностью величины будет 1/T² (1/время²). Измеряют его обычно в радианах на секунду в квадрате, рад/с² или 1/с² (с^-2).

Обязательно следует отметить, что ε может рассматриваться, в качестве вектора, т. е. ему приписывается направление. Хотя в отличие от направления обычной скорости, воспринимается это несколько сложнее, ведь наглядность отсутствует.

Угловое ускорение через радиус выражается как a = ε*R, где a – ускорение, направленное по касательной траектории.

Угловое ускорение и формула закона движения при равнопеременном вращении

Выведем его закон. Пусть в начальный момент времени (t=0) равен φ₀, а его начальная скорость ω_0.

Из определений выше следует

ε = dω/dt следует, что dω = ε dt.

Чтобы найти угловую скорость нам нужно найти первообразную от этого выражения по времени. Получаем

 ω = εt + С1.

С1 – некоторая постоянная. В нашем случае, по начальным условиям, она равна начальной угловой скорости тела, ω₀.

Поэтому

ω = εt + ω₀

Напомним, что мгновенная угловая скорость равна: ω = dφ /dt

Отсюда

dφ /dt = εt + ω₀

φ = (εt + ω₀)dt

Находим первообразную по времени

φ = εt²/2 + ω₀t + С2

С2 – некоторая постоянная. Исходя из начальных условий она равна φ₀. Приходим к выражению

φ = εt²/2 + ω₀t + φ₀

Это и есть закон равнопеременного вращательного движения.

Примеры

Пример. 1

Колесо стало вращаться с постоянным угловым ускорением и, спустя 10 оборотов от начала вращения, получило скорость 20 рад/с. Чему равно угловое ускорение?

Решение:

Применим к вращению колеса формулу равнопеременного движения, исходя из того, что его начальная угловая скорость ω₀ была равна нулю. Формулы, с которыми нам придётся иметь дело:

φ = εt²/2; ω = εt;  φ = 2πN

Из первой формулы выражаем ε

ε = (φ/t²)

Из второй формулы выражаем время

t = ω/ε

Подставляем его в формулу выше.

ε = (2*φ)/(ω/ε)² = ( 2* φ * ε²)/ω²

Проводим необходимые сокращения и приходим к формуле углового ускорения:

ε = ω²/2φ

Вместо угла φ подставляем в выражение третью формулу

ε = ω²/2*2πN = ω²/4πN

После подстановки численных значений получим ε = 3,2 рад/c²

Ответ: Угловое ускорение колеса равно 3,2 рад/c².

Пример. 2

Тело вокруг собственной оси вращается по следующему закону:

φ = 10 + 20*t – 2*t²

Нужно найти угловое и полное ускорение точки, находящейся в 109 см. от оси вращения через 4 секунды после начала движения.

Решение:

Формулы, с которыми нам придётся иметь дело:

\[a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{T}^{2}}\]

A_t = dv/dt = Rε

a_n = v²/R = ω²R

Если известен закон движения, то ω и ε не составляет труда выразить через производные. Сначала находим ω.

ω = d(10 + 20t – 2t²)/dt = 20 – 4t

Ускорение находим, дифференцируя последнее полученное выражение:

ε = d(20 — 4t)/dt = (- 4 )рад/с²

Смотрим на формулу нахождения полного a и выражение ε через радиус, после чего делаем соответствующие подстановки.

\[a=\sqrt{R^{2} \varepsilon^{2}+\omega^{4} R^{2}}\]

После численных подстановок выясняем, что a точки равно 1,65 м/с².

Ответ: Угловое ускорение точки равно (-4) рад/с², а полное её ускорение – 1,65 м/с².