Постоянная Больцмана

Откуда взялась физическая постоянная Больцмана?

Постоянная Больцмана – постоянная величина, которая названа в честь своего первооткрывателя – Людвига Эдварда Больцмана. Австрийский физик опередил свое время, сделав значительный вклад в статическую физику, заложив фундамент в молекулярно-кинетическую теорию и доказав миру, что поведение и физические свойства материи напрямую зависят от явлений на атомном уровне. Постоянная обозначается символом k и равняется 1,38 x 10^–23 Дж/К. Она напрямую связывает параметры микромира (атомы и молекулы) с макроскопическими свойствами (температура и давление).

Что же это такое и в каких единицах измеряется

Рассмотрим два метода нахождения коэффициента Больцмана:

Важно! Постоянная Больцмана и Постоянная Стефана-Больцмана – не одно и то же. Так как по определению постоянная Стефана-Больцмана: неизменная величина – коэффициент пропорциональности в законе Стефана-Больцмана: полная энергия, которая излучается единицей площади с поверхности абсолютно черного тела, пропорциональная 0,25 степени температура. Значение — 5,670 374 419… ⋅10⁻⁸ Вт·м⁻²·К⁻⁴. полная энергия, излучаемая единицей площади поверхности абсолютно чёрного тела за единицу времени, пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры.

Как найти постоянную Больцмана при помощи уравнения Менделеева-Клайперона

Постоянная Больцмана используется в уравнении, используемого для нахождения идеального газа и выглядит как:

pV= uRT, где:

• p – это давление
• V – это объем
• u – это «ню», количество вещества, измеряемое в молях
• R –  это универсальная газовая величина, являющаяся постоянной и равная 8,314 
• T – температура в Кельвинах

А универсальная газовая постоянная находится с использованием неизменной Больцмана по формуле R = kNa,

Na – постоянная Авогадро, равная 6·10^23

Через эксперимент определим, что при изменении температуры с Т0=273 до Т=373, давление изменилось с p0=1,013·105 Па до p 0 = 1, 38 ⋅ 10. Такой эксперимент легко можно повторить, используя термометр для изменения температуры (важно не забыть после перевести в Кельвины по формуле T=t+T0, где Т0 – это 273, а t – температура в цельсиях) и манометр для давления.

 Далее важно не забывать, что количество молекул в 1 моле газа равняется число Авогадро, а при 1 атм V = 22,4 л.

Подставляем все вышеперечисленные параметры в уравнение и вычисляет число k.

Вывод постоянной Больцмана с использованием броуновской формулы взвешенных частиц

Проведем эксперимент для следующего метода вычисления. Возьмем и подвесим на упругой нити зеркало небольшого размера. Наша система воздух-зеркало существует в статическом равновесии (состояние покоя под действием сил). Зеркало в данной системе можно считать броуновской частицей, так как о него ударяются молекулы воздуха. Беря во внимание его подвешенное состояние, наблюдаем вращательные колебания вокруг оси, которая совпадает с вертикально направленной нитью-подвесом. Далее направляем на зеркало луч света и видим, что при малейших поворотах и движениях зеркала луч заметно смещается. Это позволяет найти вращательные колебания у зеркала.

 Модуль кручения можем обозначить буквой L, а J – будет моментом инерции для оси вращения, ф – угол поворота зеркала. Равенство крутильных колебаний будет выглядеть как:

Jф = -Lф

В правой части запишем минус, так как момент сил упругости возвращает зеркало в состояние равновесия. При преобразовании уравнения колебаний и домножения обеих частей на ф получим:

Jφ22+Lφ22=Const

Так как колебания гармонические, то здесь действует закон сохранения энергии, значит потенциальная будет переходить в кинетическую и так далее. С учетом закона равномерного распределения энергии запишем конечную формулу и подставим исходные данные, получим постоянную Больцмана:

k=⟨φ2⟩/LT

Данные, которые мы получили в эксперименте, это максимальное значение угла поворота ⟨φ⟩≈4×10−6, модуль кручения L≈10^15Н×м при температуре T≈290K. Таким образом, через макропараметры мы можем найти требуемую физическую постоянную.

Значение постоянной Больцмана

С помощью данной постоянной легко можно связать микрочастицы (молекулы, электроны, протоны, кварки) с элементами макромира (температуру Кельвина). Для примера приведем формулу связи энергии поступательного движения молекул с температурой по Кельвину по формуле:

maxE > = 3/ 2 k T 

Физическая Больцмана, помимо уравнения Менделеева-Клайперона, также помогает найти среднюю энергию молекулы, кинетическую теорию газа, распределение Больцмана-Максвелла и многое другое. Постоянная важна для исследования полупроводников, определяет энтропию с использованием формулы S = k log p + b.

Уравнение вида   1/2 mv² = kT является своеобразным «мостиком» для микропараметров в левой стороне и макропараметрами в правой части.

Приведем пример задач с использованием k

Задача 1:

Чтобы определить экспериментальным путем значения Авогадро с использованием метода Перрена, нашли, что если увеличить слой жидкости на 13 мкм, то концентрация частиц гуммигута упадет в 2 раза. Найдите радиус частичек при температуре 1 градус по Цельсию, плотность жидкости 0,910, а плотность гуммигута 1,210.

Решение с пояснениями: маленькие частицы ведут себя подобно молекулам при взвешивании в газе или жидкости, поэтому нахождение изменения их концентрации справедливо по распределению Больцмана.

n – это концентрация, h – это высота, к – постоянная, Т – температура в Кельвинах, п0 – концентрация на высоте, равной нулю, от неё отсчитывается потенциальная энергия, которая записывается как:

V – принимаем за объем единичной частицы.

Подставим в формулу логарифм п0, который равняется 2, а затем вставим значения и посчитаем значение объема:

Переведем через радиус правильного шара и получим г = 2,58 10⁷м.

Ответ: радиус частичек гуммигута равняется г = 2,58 10⁷м.

Задача 2:

Глубина скважины равняется 8 км, молярная масса воздуха 29-10^-3 кг/моль, температура – 300 Кельвинов, воздушное давление над поверхностью Земли = 1 амт. Какое давление окажет воздух на дно скважины?

Решение с пояснениями:

Формула потенциальной энергии:

E_h = -mgh.

Для того, чтобы узнать распределение молекул по глубине, запишем формулу распределения Больцмана:

Если Р = пкТ, то запишем уравнение при постоянной концентрации его молекул, которое будет равняться:

Вставим известные значения и посчитаем давление:

Ответ: Давление воздуха на дно скважины равняется 210⁵ Па.

Задача 3:

Основание атмосферного столба равняется 1см2, у второго столба высотой 1000 метров то же основание. Сравнить полное число молекул обоих столбов.

Решение с пояснениями:

Обозначим число молекул в 1 объема и при нулевой высоте как N0, тогда формула распределения данных частиц по высоте будет выглядеть следующим образом:

Полное число молекул в столбе с основанием в 1 см2 и заданной высотой

где µ — будет являться молярной массой воздуха.

Подставим значение высоты и получим:

Ответ: N(H = 103 ) = 0.25· 1025.