Теплообмен. Уравнение теплового баланса

Соприкосновение тела и горячего газа. При таком взаимодействии через столкновение молекул тела с молекулами газа происходит передача энергии газа.

Мера измерения, которая применяется в процессе теплообмена при изменении внутренней энергии тела выступает количество тепла (Q).

Есть два тела:

Одно имеет более высокую температуру и второе — низкую температуру.

Первое будет остывать и отдавать тепловую энергию до тех пор, когда температура двух тел не станет идентичной. Это будет называться тепловым равновесием взаимодействующих тел.

Когда работ в системе не совершается, но при этом к ней проводится тепло. При таком раскладе в соответствии с законом сохранения энергии (первым началом термодинамики) все тепло, которое будет передано системе, идет на увеличение внутренней энергии системы:

\[\Delta Q=\Delta U \text { (№1) }\]

В этом случае, \[\triangle U\] каждого тела при нагревании будет равняться массе тела (m) умноженной на удельную теплоемкость вещества (c) и умноженное на изменение температуры тела \[(\triangle T)\].

\[\Delta U=m c \Delta T(\text { №2) }\]

При плавлении и кристаллизации для расчета \[\triangle U\] будет использована следующая формула:

\[\Delta U=\pm \lambda m \text { (№3) }\]

\[\lambda-\] удельная теплота плавления или кристаллизации вещества.
m — масса тела.
Для определения при конденсации или парообразования применяем:

\[\Delta U=\pm r m \text { (№4) }\]

r — удельная теплота конденсации или парообразования.
m — масса тела.

При этом не следует забывать, что все вышеупомянутые процессы: плавление, кристаллизация, конденсация, парообразование происходят без изменения температуры, то есть при постоянной температуре.

По изложению формул под номерами три и четыре, мы можем ясно увидеть, что изменение внутренней энергии системы не зависит от температуры.
Когда топливо полностью подлежит сгоранию выделяется теплота, которую можно определить с помощью следующей формуле:

\[\Delta Q=\Delta U=q m \text { (№5) }\]

q — удельная теплота сгорания топлива.
m — масса тела.

В горячую воду с температурой +80 градусов Цельсия, которая имеет массу двести грамм, добавили охлажденную воду, имеющею температуру +15 градусов Цельсия с массой сто грамм.

Вопрос:

Какая температура будет у смешанной воды после того, как произойдет тепловое равновесия?

Примечание: не учитывать теплообмен с окружающей средой.

В данном случае, мы с вами рассмотрим упрощенную задачу, для лучшего понимания закона сохранения энергии. В данной задаче, мы не будем учитывать осуществляемый теплообмен с емкостью, которая наполнена водой.

Решение:

Считаем систему изолированной, так как в условии было сказано, что окружающая среда не будет участвовать в теплообмене.

Из-за того, что теплообмен с окружающей средой и воздухом происходить не будет, вся тепловая энергия, которую получит холодная вода, будет отдана горячей водой

1. Записываем уравнение теплового баланса:
   \[Q_{\text {остывания горячей воды }}+Q_{\text {нагревания холодной воды }}\]
2. Записываем формулу для каждого количества теплоты:
   \[Q_{\text {остывания горячей воды }}=\mathrm{C}_{\text {воды }}^{*} m_{\text {горячей воды }} *\left(t_{\text {общ }}-t_{\text {горячей воды }}\right)\]
   \[Q_{\text {нагревания холодной воды }}=\mathrm{C}_{\text {воды }}^{*} m_{\text {холодной воды }}^{*}\left(t_{\text {общ }}-t_{\text {холодной воды }}\right)\]

Примечания:

• \[c_{воды}\] —   берем из справочника
• Массу воды обязательно переводим в килограммы
• Разность \[\left(t_{\text {общ }}-t_{\text {горячей воды }}\right)\] будет с отрицательным знаком, потому что ее окончательная температура будет меньше ее изначальной.

3. Подставляем выражения и выводим окончательную формулу:
   \[c_{\text {воды }} * m_{\text {горячей воды }} *\left(t_{\text {общ }}-t_{\text {горячей воды }}\right)+c_{\text {воды }} * m_{\text {холодной воды }} * \left(t_{о б щ}-t_{\text {холодной воды }}\right)\]
4. Заменяем символы числами:
   \[\begin{aligned}
   &4200 * 0,2 *\left(t_{\text {общ }}-80\right)+4200 * 0,1 *\left(t_{\text {общ }}-15\right)=0 \\
   &840 *\left(t_{\text {общ }}-80\right)+420 *\left(t_{\text {общ }}-15\right)=0
   \end{aligned}\]
5. Раскрываем скобки и получаем ответ \[t_{\text {общ }}=58,33\]

Ответ: Температура смешанной воды будет равна 58,33 градуса Цельсия.

В латунный калориметр, который имеет массу \[m_{k}=0.1\] килограмм со льдом, который имеет массу \[m_{i}=1\] килограмм , которые имеют общую температуру \[T_{k i}=200 \mathrm{~K}\], начали пускать пар, который имеет температуру \[T_{p}=400 \mathrm{~K}\]. После этого, в калориметре изменилась температура и стала постоянной \[\Theta=300 K\].

Вопрос:

Какую массу имел пар?

Примечание:

Считать, что система, состоящая из льда, колориметра и пара — изолирована. Следовательно, теплообмена с окружающей средой нет.

Решение:

Исходя из условия задачи, мы можем сделать вывод, что все процессы теплообмена, которые будут происходить в системе, можно описать с помощью уравнения теплового баланса, учитывая агрегатные превращения.

В результате того, что лед плавится при помощи пара, калориметр наполняется водой  ( если делать выводы по температуре, которая установилась в калориметре \[\Theta=300 K=27\] градусов Цельсия). Происходит теплообмен сред: пар отдает свою теплоту, а калориметр со льдом её получают.

К исходным данным добавляем справочные:

• Удельная теплоемкость пара  \[c_{p}=1,7 * 10^{3} \frac{\text { Дж }}{кгК}\]
• Удельная теплоемкость воды  \[c_{v}=4,2 * 10^{3}\frac{\text{ Дж }}{кгК}\]
• Удельная теплоемкость льда \[c_{i}=2,1 * 10^{3} \frac{\text { Дж }}{кгK}\]
• Удельная теплоемкость латуни \[c_{k}=0,386 * 10^{3} \frac{ \text { Дж }}{кгК}\]
• Удельная теплотапарообразования воды \[r=2,1 * 10^{6} \frac{\text { Дж }}{кг}\]
• Удельная теплотапри плавлении льда \[\lambda=3,3 * 10^{5} \frac{\text { Дж }}{кг}\]

Чтобы решить данную задачу, мы должны описывать каждую стадию изменения внутренней энергии.

1. Пар, когда отдает теплоту, начинает остывать от своей температуры \[T_{p}\] до конденсированной  \[T_{k o n d}\], которая равняется 373 К.
2. Пар будет конденсироваться при постоянной температуре
3. Вода, которая была получена из пара будет остывать до температуры \[\Theta\].
4. Как результат внутренняя энергия пара становится меньше \[\Delta U_{1}=Q_{o t d}=m_{p} c_{p}\left(T_{p}-T_{c o n d}\right)+m_{p} r+m_{p} c_{v}\left(T_{k o n d}-\Theta\right)\].
5. Происходит нагревания льда благодаря тому, что он получает теплоту от пара и он от \[T_{k i}\] доходит до \[T_{\text {plav }}\] и равняется 273 K.
6. Плавление льда
7. Нагревание воды до температуры \[\Theta\].
8. Как результат, внутренняя энергия льда будет увеличена.
   \[\Delta U_{1}=Q_{\text {poluch }}=m_{i} c_{i}\left(T_{\text {plav }}-T_{k i}\right)+m_{i} \lambda+m_{i} c_{v}(\Theta-T_{\text {plav }})\]
9. Происходит теплообмен с калориметром и он нагревается до \[\Theta\].

Составляем уравнение теплового баланса:

\[\Delta U_{1}=\Delta U_{2}+\Delta U_{3}\]

Для описания всего процесса составим уравнение теплового баланса:

\[\begin{aligned}
&m_{p} c_{p}\left(T_{p}-T_{\text {cond }}\right)+m_{p} r+m_{p} c_{v}\left(T_{\text {kond }}-\Theta\right)= \\
&m_{i} c_{i}\left(T_{\text {plav }}-T_{k i}\right)+m_{i} \lambda+m_{i} c_{v}\left(\Theta-T_{\text {plav }}\right)+ \\
&m_{k} c_{k}\left(\Theta-T_{k i}\right)
\end{aligned}\]

\[m_{p}=\frac{m_{i} c_{i}\left(T_{p l a v}-T_{k i}\right)+m_{i} \lambda+m_{i} c_{V}\left(\Theta-T_{\text {plav }}\right) m_{k} c_{k}\left(\Theta-T_{k i}\right)}{c_{p}\left(T_{p}-T_{\text {cond }}\right)+r+c_{V}\left(T_{\text {kond }}-\Theta\right)}\]

Заменяем символы на цифры:

\[\begin{aligned}
&m_{p}= \\
&\frac{1 * 2,1 * 10^{3} *(273-200)+1 * 3,3 * 10^{5}+1 * 4,2 * 10^{3} *(300-273)+0.1 * 3,9 * 10^{3} *}{1.7 * 10^{3} *(400-373)+2,1 * 10^{6}+4,2 * 10^{3} *(373-300)} \\
&=\frac{9,8 * 10^{5}}{2.5 * 10^{6}}=0.392(кг)
\end{aligned}\]

Ответ: Масса пара будет равна примерно 392 грамма.