Пересечение и объединение множеств

Решение некоторых математических задач предусматривает операции над множествами такие как пересечение, объединение, разность. Под множеством подразумевают объединение некоторых предметов в одно целое. Для совершения подобных действий требуется знание некоторых правил, которые позволят найти пересечение, объединение и разность множеств. О таких правилах пойдёт речь далее.

Обозначение множеств. Как записать объединение и пересечение множеств

При записи обозначения пересечения множеств и объединения множества чисел, используют специальный порядок символов. Самый лёгкий способ обозначить множество — это применение фигурных скобок, в середине которых элементы записаны через запятую.

А = {7, 3, 15, 31}

С помощью такой записи можно задать множество, если оно включает небольшое конечное число элементов. В связи с этим чаще применяется многофункциональный способ определения множеств – посредством характеристического свойства, которое свойственно всем элементам множества, которым не владеют объекты вне множества.

A = {x | P(x)} или A = {x : P(x)}

P(x) – характеристическое свойство множества A.

В таком виде объединение записывается следующим образом:

AUB={x|xєAvxєB}

а пересечение множеств записывается как:

AՈB={x|xєAᴧxєB}

Где символы v / ᴧ, обозначают «или» / «и», символ | обозначает «таких что».

Чтобы обозначить множества, как числовые интервалы, при записи применяют скобки круглой и квадратной формы. К примеру, запись [4,24), выражает цифровой диапазон от 4 до 24, при этом число 4 входит в состав множества, а 24 нет. Числа менее 24 принадлежат этому множеству.

Найти пересечение и объединение множеств. Операции над множествами

Чтобы легче запомнить данные знаки пересечения и объединения множеств, можно мысленно представить, что символ объединения U напоминает сосуд с открытым верхом, туда есть возможность что-то положить.

Символ пересечения Ո наоборот, выглядит как перевёрнутая ёмкость, в который невозможно поместить какой-либо предмет. Так же символ обозначающий пересечение Ո можно прочитать как «И».

Тогда выражение AՈB=C, читается так: “Все элементы, входящие в состав множества A и множества B, составляют элементы, которые принадлежат множеству C».

Правила нахождения объединения и пересечения и разности множеств

При формировании объединения числовых множеств, следует последовательно записать полностью части одного множества и их дополнить недостающими элементами из остальных. Операцию объединения в отдельных случаях называют сложением множеств и обозначают знаком «+».

Рассмотрим пример объединения числовых множеств A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и B={2,4,6,8,10}. К имеющимся числовым составляющим множества A 1,2,3,4,5,6,7,8,9 прибавим недостающую часть из множества B 10. Получившееся в результате объединения множество чисел будет выглядеть так {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Соответственно запись этого объединения:

AUB={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Чтобы составить пересечение числовых множеств, следует последовательно выбирать части одного множества и удостовериться, входят ли они в другие исследуемые множества, входящие в их число и составляют пересечение.

Для того, чтобы найти пересечение этих же множеств, друг за другом, последовательно проанализируем числа множества A на их наличие в множестве чисел B. Начнём проверку с самого первого числа в множестве A это число 0. В множестве B данное число отсутствует и не войдёт в совокупность пересечения. Смотрим далее, число 1 из множества A так же имеется в составе множества B. Затем следует число 2, которое принадлежит множеству B и, следовательно, пересечению. Идущее за ним 3 не принадлежит A и B не входит в перечисление. Число 4 входит в A и B, значит войдёт и в объединение. Далее продолжаем проверять числа по аналогии. Итак, пересечение множеств A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и B={2,4,6,8,10} состоит из чисел 2,4,6,8. При записи выглядит так:

AՈB={2,4,6,8}

Выполнение записи пересечения и объединения нескольких множеств

Если требуется выполнить операции с более чем двумя множествами, например: A, B, C, принцип действия подобный предыдущим примерам. В первую очередь находим пересечения A и B. Только затем пересечение полученного множества с C.

Следовательно, процесс нахождения пересечения более двух множеств осуществляется в несколько этапов.

Например, дано три множества A = {1,2,3,7,9}, B = {1,3,5,7,9} и C = {3,4,5,8,9}. Сначала находим пересечение AՈB = {3,9}, затем сравниваем полученное множество с C, это будут те же 3 и 9. Получаем, что пересечение A, B, C выглядит следующим образом:

AՈBՈC={3,9}

При определении объединений двух и более множеств, к числам первого множества последовательно добавляют отсутствующие элементы из второго, третьего и последующих множеств. К примеру, даны следующее множества A = {1,4}, B = {4,3,} и C = {1,3,6,7}. К числовым элементам 1 и 4 из множества A, прибавляем число 4 из множества B. Теперь, к получившемуся множеству 1,3,4 прибавляем цифры 6 и 7 из множества C. В конечном результате получаем объединение:

AUBUC = {1,3,4,6,7}

Для нахождения пересечения совсем не нужно писать много букв. Когда элементов не много, то множество возможно задать элементарным перечислением. Например, первое множество включает в себя числа 1,3,5, второе состоит из элементов 2,3,5. В данном случае, пересечение будет состоять из элементов 3 и 5. Для записи можно использовать прямое перечисление: {1,3,5} Ո {2,3,5} = {3,5}

Основные свойства объединения и перечисления множеств

1. Коммутативность или перестановка. Распространяется на все компоненты при любом их количестве.
   • AUB = BUA
   • AՈB = BՈA
2. Ассоциативность или расстановка скобок. Позволяет опускать скобки и делать решение проще.
   • (AՈB)ՈC = AՈ(BՈC)
   • (AUB)UC = AU(BUC)
3. Раскрытие скобок или дистрибутивность.
   • (AUB)ՈC=(AՈC)U(BՈC)
   • (AՈB)UC=(AUC)Ո(BUC)

Разностью A и B называется множество, которое включает в себя все элементы, каждое из которых принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B. Обозначается A\B. Приведём пример, найдём разность множеств A = {1,2,3,4,5} и множества B = {2,4,6,8}. Первый вариант находим разность множества A. Запись будет выглядеть так: A\B={1,3,5}, в которую не входят элементы, принадлежащие только B числа 6 и 8. Разность множества B при этом выглядит так: B\A={6,8}, сюда соответственно не входят числа, принадлежащие только A.

Для закрепления материала пройденных уроков, рассмотрим ещё несколько примеров. Дана задача: A = {0,5,8,10}, B = {3,6,8,9} и X = {0,1,3} Y = {2,4,6}. Найдите пересечение, объединение для A, B и разность множеств X, Y. Решение:

Сначала найдём объединение исходных множеств A U B = {0,3,5,6,8,9,10}.

Затем пересечение A Ո B = {8}

Разность X\Y = {0,1,3} Y\X = {2,4,6}

Для того, чтобы выполнить операции над множествами пересечения, объединения, разность в количестве больше двух, следует рассматривать элементы, входящие в первое их них. Затем определить, относится ли этот элемент к каждому из проверяемых множеств. Если данное обстоятельство не соблюдено, то элемент не относится к пересечению. При проверке, лучше выбирать множество с наименьшим количеством элементов в составе.

Кроме перечисленных действий пересечения и объедения существует дополнение множеств и многие другие операции.

Отображение множеств с помощью координатной прямой

Для того, чтобы исследовать и обозначать множества, удобно применять выделение числовых промежутков на координатной прямой. Каждая выбранная точка разделяет находящиеся на ней числа на два открытых луча. Приведём пример, точка с координатами 42,7 сформирует промежутки, которые можно записать как (-∞,42,7) и (42,7, +∞). Наше выражение заключено в круглые скобки, это значит, что сама точка 42,7 ни одному из этих промежутков не принадлежит. Числовая прямая, которая записывается как R = (-∞,+∞), при таком варианте из нашего примера, представляет объединение:

(-∞,42,7) U {42,7} U (42,7+∞).

При добавлении нашей рассматриваемой точки 42,7 к одному из представленных (-∞,42,7) или (42,7, +∞) числовых лучей, в таком случае промежуток перестанет быть открытым. При записи выражения нужно будет использовать квадратные скобки, которые обозначают, что точка входит в промежуток. Запись будет выглядеть так: (-∞,42,7] и [42,7+∞). Тем самым множество действительных чисел на координатной прямой будет выглядеть так:

(-∞,42,7] U (42,7+∞) или (-∞,42,7) U [42,7+∞).

На числовой прямой можно выполнять большое количество действий. Такую прямую можно разделить на отрезки не точкой, как в предыдущем примере, а лучом или отрезком. Все выявленные закономерности так же будут соблюдены. Кроме того, они выполняются при разделении самих числовых промежутков. Рассмотрим пример, точка с координатой 18 на промежутке (8,34] разделит его на следующие промежутки (8,18) U {18} U (18,34]. Дополнив точкой, один из промежутков, получатся следующее записи: (8,18] U (18,34], (8,18) U [18,34]. Примем за разделяющую точку цифру 34, которая включается в состав рассматриваемого промежутка и ограничивает его справа. В результате получим объединение множеств {34} и интервала (8,34) либо (8,34] = (8,34) U {34}

Аналогичные закономерности объективны и в ситуации, когда координатная прямая разделяется на промежутки несколькими точками. К примеру, точки -5, 0 и 6 разделят её на промежутки (-∞,-5), (-5,0), (0,6), (6,+∞), при этом множество действительных чисел (-∞,-5) U {-5} U (-5,0) U {0} U (0,6) U {6} U (6,+∞).

Благодаря координатной прямой достаточно просто и легко рассматривать пересечения и объединения множеств. Они указываются друг под другом на координатных прямых с идентичными направлениями отсчёта и точками. При записи отображения множеств координатные прямые обозначают слева квадратной скобкой, фигурные скобки используются, чтобы показать пересечение.

С помощью дополнительной координатной прямой, которую располагают ниже исходной, показываются искомые пересечения или объединение. На ней поперечными чертами отмечают граничные точки первичных множеств, а после выяснения характера точек, их заменяют полями или сплошными. На рисунке вхождение промежутка в объединение показывается штриховкой, отсутствие вхождения – полой точкой, а вхождение – сплошной.

Графически пересечение A и B показывается промежутками, над которыми имеется штриховка, дополненная отдельными точками, которые принадлежат обоим множествам. На рисунке объединение проявляется там, где показана штриховка хотя бы у одного из множеств и сплошные точки.

В приведённых примерах объединения и пересечения множеств указаны только целые числа. Отрезкам на координатной прямой так же принадлежат и другие числа, которые целыми не являются, такие как десятичные дроби. При определении пересечения и определения множеств, класс чисел намного шире, чем представлен в упражнениях, они находятся между целыми числами и количество их очень велико, перечислять которые не представляется возможным.