Рациональные числа: определения, примеры

Понятие рационального числа

Рациональное число — это число, значение которого представлено в виде дробного значения, вида:  \[\frac{a}{b}\]

 где:

 a —  числитель;

 b — знаменатель.

Следует помнить, что b не должно быть равным нулевому значению, так как деление на ноль недопустимо.

К рациональным значениям следует отнести следующие группы чисел:

• целые числовые значения: −3, −1, 0 1, 3 и т.д.

• Обыкновенная дробь \[\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{4}\]
• смешанные числовые значения: \[2 \frac{1}{2}, 1 \frac{2}{3},-2 \frac{1}{3}\]
• бесконечная периодическая дробь: например 0,(6) и т.п.

Пример 1. Целое числовое значение равное 2 может выражаться как в дробь \[\frac{2}{1}\]

Следовательно, число 2, будет относиться к категории, не только целых чисел, но рациональных.

Пример 2. Смешанное значение равное \[2 \frac{1}{2}\] можно преобразовать в дробь равную \[\frac{5}{2}\]

Данное значение получается переводом смешанного значения в обычную неправильную дробь:

\[ 2 \frac{1}{2}=\frac{(2 \times 2)+1}{2}=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2} \]

Следовательно число:

Смешанное число \[2 \frac{1}{2}\] можно отнести к рациональному числу.

Пример 3. Значение десятичной дроби,  у которой  значение равно 0,2 можно  преобразовать и выразить, как \[\frac{2}{10}\].

Данное значение получилась переводом десятичного значения равного 0,2 в обычную обыкновенную дробь.

Данную дробь 0,2 можно записать как значение в виде \[\frac{2}{10}\] из этого следует, что тогда она будет относиться к категории рациональных значений.

Пример 4. Периодическую бесконечную дробь, со значением равным 0, (3) можно представить как дробь вида: \[\frac{3}{9}\]

Значение дроби получается при помощи перевода дроби периодического вида в дробь обыкновенного типа. Заданную бесконечную  периодическую дробь 0, (3) можно выразить как \[\frac{3}{9}\] и тем самым отнести к категории рациональных чисел.


Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Нужна помощь

Расположение рациональных числовых значений на координатной прямой плоскости

Координатная прямая — это некая линия на плоскости, на которой расположено множество числовых значений. Имеет она следующий вид:



На вышеприведенном рисунке приведен фрагмент координатной прямой от значений −5 до 5.

Немного иначе обстоят дела с остальными категориями значений:

• обычные дробные значения;
•  числа смешанного типа;
•  десятичные дробные значения.

Данные значения расположены между целыми числами и данных значений множество.

Пример 1. Нужно определить на координатной прямой рациональное числовое значение  . Число располагается между значениями 1 и 2



Дробное значение равное \[\frac{3}{2}\] можно записать как десятичную дробь равную 1,5. При увеличении участка координатной прямой от 1 до 2, можно увидеть следующую ситуацию:



Между целыми значениями 1 и 2 находятся уже другие значения, которые являются десятичными дробями. Здесь же расположена дробь , которая находится  там же, где и дробь равная 1,5.

Увеличивая указанные отрезки на координатной прямой, можно увидеть остальные значения, которые лежат на данном отрезке.

В результате, можно обнаружить десятичные дроби, которые расположены после знака запятой одно значение.

Между значениями десятичных дробей, у которых после знака запятой имеют одну цифру, могут находится и другие десятичные дроби. В свою очередь они имеют после запятой два значения. Иными словами, сотые значения на отрезке.

Определим числа, которые находятся между десятичными значениями равными 0,1 и 0,2.



Пример 2. Необходимо определить на координатной прямой рациональное числовое значение.

Данное значение будет находиться ближе к нулевому значению.



Числовое значение дроби \[\frac{1}{50}\] равно десятичной дроби 0,02

При увеличении отрезка от 0 до 0,1 можно определить, где расположено рациональное значение равное \[\frac{1}{50}\]



Пользуясь рисунком координатной прямой, можно сделать вывод:

Пользуясь рисунком координатной прямой, можно сделать вывод: \[\frac{1}{50}\] расположено, там же , где и десятичная дробь равная 0,02.

Пример 3. Обозначим на прямой рациональное значение равное 0, (3).

Рациональное значение равное 0, (3) будет являться бесконечной периодической дробью.

Так как его дробное значение не заканчивается, оно бесконечное

0,33333…..

У значения периодической дроби 0,(3) дробная часть будет бесконечной, это значит, что: определить ее точное месторасположение на координатной прямой не представляется возможным. Данное место можно указать лишь частично.

Значение десятичной дроби равное 0,33333… будет расположено ближе к простой десятичной дроби значения 0,3.



На рисунке, нельзя точно увидеть месторасположение значения 0,(3).

Отрицательное значение перед рациональным числом

Рассмотрим простой пример:

(−6) : 2 = −3

В данном примере делимое равно  (−6)  и является отрицательным значением.

Далее можно рассмотреть иной пример. Составим и запишем выражение:

6 : (−2) = −3

В данном примере отрицательным является делитель равный (−2). Однако в двух случаях, при решении примеров, получается одинаковый ответ, который равен (−3). Данные примеры, также, можно записать в виде дробных значений.

Вид данных значений следующий \[\frac{-6}{2}=-3,-\frac{6}{-2}=-3\].

Так как в обоих случаях ответ, полученный при вычислении дробей, будет равным, то отрицательный знак, стоящий в числителе или в знаменателе можно вынести как общий. И тем самым, поставить его перед дробью:

\[ \frac{-6}{2}=-\frac{6}{2}=-3,\frac{6}{-2}=-\frac{6}{2}=-3 \]

Следовательно между дробями и \[\frac{6}{-2}\] и \[-\frac{6}{2}\] есть возможность поставить равенство, так как они имеют одинаковое значение \[\frac{-6}{2}=\frac{6}{-2}=-\frac{6}{2}\]

Противоположные значения рациональных чисел

По аналогии с простыми действительными числами, рациональное также может быть противоположным числом. 

Например: для рационального дробного значения равного \[\frac{1}{2}\] противоположным числом будет значение дроби \[-\frac{1}{2}\].

Данная дробь будет располагаться на координатной прямой в асимметричном расположении относительно дроби \[\frac{1}{2}\] и начала координат. Иными словами, оба дробных значения удалены от нулевого значения (начала координат) на одинаковом расстоянии.

На нижеприведенном рисунке это можно увидеть досконально.



Основы перевода смешанных числовых значений в неправильную дробь

Для того чтобы осуществить перевод из смешанного числа в неправильную дробь, необходимо целую часть дроби перемножить со знаменателем дробной части и сложить полученное значение с числителем дробной части.

Вычисленное, будет являться числителем нового дробного значения. Следовательно, знаменатель остается прежним значением.

Пример 1. Необходимо перевести смешанное число равное \[2 \frac{1}{2}\] в дробь неправильного вида. Для этого перемножим целую часть на значение знаменателя дробной части. Затем суммируем полученное значение к числителю дроби.

(2 × 2) + 1

Определим значение данного выражения:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5 Вычисленное значение, которое равно 5 будет являться числителем нового

дробного значения. Значение знаменателя останется прежним \[\frac{5}{2}\] Весь процесс проведения расчета можно записать в следующем виде, при помощи выражения:

\[ 2 \frac{1}{2}=\frac{(2 \times 2)+1}{2}=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2} \]

Чтобы преобразовать в первоначальный вид, нужно обозначить

целую часть дроби \[\frac{5}{2}\] и получим \[\frac{5}{2}=2 \frac{1}{2}\].

Данный способ перевода из смешанного значения в неправильный дробный вид, применяется в ситуациях, когда смешанное число имеет положительное значение. Отрицательному числу данный способ, не подходит.

Для этого рассмотрим следующую дробь: \[-\frac{5}{2}\]. Определим и выделим в данной дроби целую часть и получим следующее:

\[ -2 \frac{1}{2}. \text { То есть }-\frac{5}{2}=-2 \frac{1}{2} \text {. } \]

Для преобразования дроби в первоначальный вид \[-\frac{5}{2}\] необходимо преобразовать смешанное число равное \[-2 \frac{1}{2}\] в неправильную дробь.

Однако, если воспользоваться предыдущим правилом. Которое подразумевает умножение целой части на цифру знаменателя дроби и к полученному значению прибавить числитель дроби, то получается противоречие:



При вычислении данных получен ответ равный \[-\frac{3}{2}\], а правильный ответ должен быть равен \[-\frac{5}{2}\].

Выходит, что смешанное число значения \[-2 \frac{1}{2}\] в неправильную дробь приведено неверно.



Для правильного решения необходимо перевести отрицательное число в неправильную дробь.

Для этого необходимо целую часть значения перемножить на числитель дроби.

Данное решение будет правильным, и ответ получится верным.



Пример 2. Нужно выделить в значении неправильной дроби \[-\frac{27}{5}\] целую часть. Полученное число, смешанного значения преобразовать и перевести в неправильную дробь.

Применяя известные методы и правила выделим целую часть в заданном значении дроби \[-\frac{27}{5}\]. Для данной дроби она будет равна: \[-\frac{27}{5}=-5 \frac{2}{5}\]

Далее полученный результат смешанного числа \[-5 \frac{2}{5}\], необходимо перевести в дробь неправильного вида.

Для этого необходимо перемножить целую часть дроби на знаменатель. Из полученного значения необходимо отнять значение числителя дробной части:

\[ -5 \frac{2}{5}=\frac{(-5 \times 5)-2}{5}=\frac{-25-2}{5}=\frac{(-25)+(-2)}{5}=-\frac{27}{5} \]

Для этого можно смешанное число переместить в скобки, отрицательный знак при этом расположить за скобками. Затем можно воспользоваться, уже известным правилом преобразования. А именно: умножить значение целой части на знаменатель данной дроби.  Далее к полученному значению прибавить числитель.

Выполним расчет данным способом, а именно, перевод смешанного число, которое равно \[-5 \frac{2}{5}\] в неправильную дробь.

\[ -5 \frac{2}{5}=-\left(5 \frac{2}{5}\right)=-\left(\frac{5 \times 5+2}{5}\right)=-\left(\frac{25+2}{5}\right)=-\left(\frac{27}{5}\right)=-\frac{27}{5} \]