Сравнение дробей

Когда дело доходит до дробей, мы обычно сравниваем две или более. На самом деле, мы сталкиваемся с дробями в нашей повседневной жизни. Простой пример: если вы разрезаете яблоко на две части, оно тоже будет дробью. В принципе, сравнение двух дробей означает определение большей и меньшей части среди них.

Понятие сравнения дробей

Такие числа, как \[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{17}\] известны как дроби.

Число под линией деления называется знаменателем. Оно описывает нам, на сколько равных частей делится целое. Число над строкой называется числителем. Оно говорит нам, сколько равных частей взято.

Пример: \[\frac{3}{7}, \frac{5}{19}, \frac{3}{116}\] и т.д. являются дробями.

Сравнить две дроби – это значит понять, какая из них больше, а какая меньше. Из двух дробей с равными знаменателями больше будет та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше. Примеры сравнения дробей в реальном времени включают различные действия, такие как проверка сниженных цен во время покупок, достижение продаж определенного продукта, медицинские рецепты врача, результаты тестов и экзаменов и т.д. Опять же, сравнение дробей – это то, что мы испытываем или с чем сталкиваемся в своей повседневной жизни. Если достаточно сосредоточиться, то можно легко получить практическое представление об одном и том же каждый день, выполняя обычные домашние дела и математические вычисления.

Правила сравнения дробей

Есть несколько правил, которым мы должны следовать при сравнении дробей:

1. Когда знаменатели дроби одинаковы, дробь с меньшим числителем является меньшей дробью, а дробь с большим числителем считается большей дробью.
2. Когда числители равны, дроби считаются эквивалентными.
3. Когда дроби имеют один и тот же числитель, чем меньше числитель, тем более значимой считается дробь.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Пример: \[\frac{3}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}\] являются «подобными дробям».

Сравнение подобных дробей

В этом методе необходимо проверить, совпадают ли знаменатели или нет. Если знаменатели одинаковы, то дробь с большим числителем является более значительной дробью. Дробь с меньшим числителем – это меньшая дробь. Если и числители, и знаменатели равны, то дроби также идентичны. Пример: Давайте сравним \[\frac{6}{17}\] и \[\frac{16}{17}\].

1. Найдем знаменатели данных дробей: \[\frac{6}{17}\] и \[\frac{16}{17}\]. Здесь знаменатели одинаковы.
2. Сравним числители: 16>6.
3. Теперь дробь с большим числителем будет больше.
4. Следовательно, \[\frac{6}{17}\] и \[\frac{16}{17}\].

Сравнение дробей с разными знаменателями

Пример: \[\frac{5}{17}\] и \[\frac{3}{14}\] являются неподобными дробями.

Сравнение неподобных дробей

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, следует начать с поиска наименьшего общего знаменателя, чтобы сделать их значения одинаковыми. Когда знаменатели преобразуются в одни и те же знаменатели, то дробь с большим числителем является более значимой  — например, \[\frac{1}{2}\] и \[\frac{2}{5}\].

1. Найдите знаменатели данных дробей: \[\frac{1}{2}\] и \[\frac{2}{5}\], здесь знаменатели не совпадают. Возьмем 2 и 5 так, что общий множитель равен 10. Здесь, \[\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \times \frac{5}{5} \text{и} \frac{2}{5}=\frac{2}{5} \times \frac{5}{5}\].
2. Теперь сравним доли,\[\frac{5}{10}\] и \[\frac{4}{10}\], знаменатели одинаковы.
3. Мы сравним числители, 5 > 4.
4. Сравнение дроби, \[\frac{5}{10}\] > \[\frac{4}{10}\]. Дробь с большим числителем является большей дробью.
5. Таким образом, \[\frac{5}{10}\] > \[\frac{4}{10}\]. Поэтому, \[\frac{1}{2}\] > \[\frac{2}{5}\]

Если знаменатели разные, а числители одинаковые, то можно легко сравнить дроби, посмотрев на их знаменатели. Дробь с меньшим знаменателем имеет большее значение. Дробь с большим знаменателем имеет меньшее значение.

Например, \[\frac{2}{3}\] > \[\frac{2}{6}\]

Десятичный метод сравнения дробей

В этом методе необходимо сравнить десятичные значения дробей. Сначала числитель делится на знаменатель, а затем дробь преобразуется в десятичную дробь. Затем сравниваются десятичные значения.

Пример: \[\frac{4}{5} и \frac{6}{8}\].

1. Сначала запишем заданные дроби \[\frac{4}{5} и \frac{6}{8}\] в десятичной форме. \[\frac{4}{5}\]= 0,8 и \[\frac{6}{8}\]= 0,75.
2. Теперь сравните десятичные значения, 0,8 > 0,75.
3. Здесь дробь с большим десятичным значением является большей дробью.
4. Следовательно, \[\frac{4}{5} и \frac{6}{8}\].

Сравнение дробей с помощью перекрестного умножения

В этом методе числитель одной дроби перекрестно умножается на знаменатель другой дроби.

Пример: \[\frac{1}{2} \text { и } \frac{3}{4}\], когда мы перекрестно умножаем, мы получаем 1×4=4 и 2×3=6.

1. Теперь цифры 4 и 6 являются числителями, которые мы получаем, если выразим \[\frac{1}{2} \text { и } \frac{3}{4}\] с общим знаменателем 8.
2. Далее, новые дроби с одинаковыми знаменателями будут равны \[\frac{4}{8} \text { и } \frac{6}{8}\].
3. Итак, число 6 является большим числителем, \[\frac{4}{8} < \frac{6}{8}\].
4. Следовательно, \[\frac{1}{2} < \frac{3}{4}\].

Решение примеров на сравнение дробей

1. Сравните две дроби \[\frac{4}{7}\] и \[\frac{2}{7}\].

Ответ: Мы видим, что знаменатели в данных дробях одинаковы. Здесь мы будем следовать правилу, согласно которому, когда знаменатели дроби одинаковы, дробь с меньшим числителем является меньшей дробью, а дробь с большим числителем считается большей дробью.

Итак, сравните числители 4>2

Следовательно,  \[\frac{4}{7}>\frac{2}{7}\]

2. Сравните две заданные дроби:  \[\frac{6}{13}\] и \[\frac{6}{20}\].

Ответ: Мы видим, что числители в данных дробях одинаковы. Здесь мы будем следовать правилу, что, когда дроби имеют одинаковый числитель, чем меньше знаменатель, тем больше дробь.

Итак, сравните знаменатели 13>20

Следовательно, \[\frac{6}{13} > \frac{6}{20}\]

3. Сравните данные дроби, используя метод перекрестного умножения: \[\frac{3}{8}\] и \[\frac{5}{10}\].

Ответ: Мы будем использовать метод перекрестного умножения, поэтому это означает, что необходимо умножить 3×10=30 и 5×8=40.

Здесь 30<40

Следовательно, \[\frac{3}{8} < \frac{5}{10}\]

4. Расположите дроби \[\frac{5}{6}, \frac{11}{16}\] и \[\frac{13}{18}\] в порядке возрастания.

Ответ: Сначала мы вычислим общий знаменатель, он равен 144.

Теперь запишем дроби как эквивалентные:

Так, 99 < 104 < 120, следовательно \[\frac{99}{144}<\frac{104}{144}<\frac{120}{144}, \text { итак } \frac{11}{16}<\frac{13}{18}<\frac{5}{6}\]

5. Что больше: \[\frac{4}{8}\] или \[\frac{6}{12}\]?

Сравним с помощью десятичного метода.

Ответ: Мы можем использовать калькулятор 4÷8 и 6÷12. Теперь получаем, что \[\frac{4}{8}=0,5 \text { и } \frac{6}{12}=0,5\]

Итак, обе доли равны 0,5 = 0,5

Следовательно, \[\frac{4}{8}=\frac{6}{12}\]