Теорема Пифагора

Основы теоремы Пифагора, формула и доказательство

Данная теорема издавна, является основой математики и в частности ее раздела — геометрии.

Теорема получила свое название в честь ученого, потому что именно он смог первый ее доказать.

Некоторые ученые, среди них, немецкий Контор, утверждали, что первое упоминание о теореме знали еще в древности. Поговаривали, что первыми о ней узнали Египтяне в 2200 году до нашей эры. Считали, что ранее прямые углы строили, благодаря треугольникам со сторонами 3,4,5.

Ранее теорема Пифагора звучала “теоремой невесты или нимфа”. данное название она получила с арабского языка. При переводе теоремы, ошибочно решили, что нимфа означает с перевода невеста.

Формула теоремы Пифагора имеет следующую запись:

a²+b²=c²

где стороны :

• a и b — стороны квадрата катетов;

• с — сторона гипотенузы.

Из данной формулы можно вывести следующие выражения:

Для геометрической фигуры, где с — самая длинная сторона, характерны следующие свойства:

• если c² < a² + b²  — в этом случае угол напротив стороны с является острым углом;
• если c² = a² + b² — в этом случае, угол напротив стороны с является прямым;
• если c² > a² + b² , следовательно угол, который относится  к стороне с, имеет название тупого угла.

Доказательств теоремы существует множество с разными методами математического подхода.  Самые известные из них:

• При помощи подобных треугольников;
• Метод площадей треугольников;
• Стандартное доказательство Евклида;
• Способ доказательства теоремы Леонардо да Винчи;
• При помощи площадей подобных треугольников;
• Методом бесконечности.

Однако, самая популярная методика доказательства, связанная с площадями подобных треугольников.

Соответственно все сложенные площади квадратов, которые построены при помощи катетов равны площади квадрата, который построен при помощи гипотенузы

Из этого следует, что площади данных  квадратов равны – a²,b²,c² . Именно так и звучит геометрическое доказательство теоремы Пифагора.

Подробное описание действий при доказательстве теоремы

Постараемся доказать, следующее уравнение: a²+b²=c².

Изобразим прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c.

1. Необходимо прямоугольный треугольник изобразить в виде квадрата.
2. От катета “а” продолжаем линию вверх на расстояние катета “b”.
3. Затем проведем линию другого катета “а” вправо.

Получается такой же треугольник, только в перевернутом виде.

Таким же образом изображаем и с другой стороны. Проводим от катета (а) линию катета (b) и опускаем вниз отрезки (а) и (b).

 Внизу от катета (b) проводим линию катета (а). В центре фигуры от каждого катета проводим гипотенузы (с).

Таким образом, при помощи построенных гипотенуз получился квадрат в центре фигуры.

Полученный квадрат состоит из четырех прямоугольных треугольников. Площадь каждого треугольника равняется произведению его катетов.

A именно, \[\frac{1}{2} a b\].

Следовательно площадь квадрата в центре  равняется квадрату гипотенузе  c², так как все четыре гипотенузы имеют сторону с длиной (с).  

Из рисунка видно, что стороны квадрата (четырехугольника) имеют равные значения, следовательно, и прямые углы. Но, нужно доказать, что углы прямые.

Для этого построим квадрат:

Видно, что два обозначенных угла имеет измерение по 90 градусов. Следовательно, если треугольники равны между собой, то и следующие углы так же буду прямыми. То есть равны предыдущим углам.

Суммарное значение углов равняется 90 градусов. Следовательно, предыдущий также равен 90 градусов. Таким правилом мы руководствуемся и с другой стороны.

Сумма острых углов в треугольнике, который является прямоугольным равняется 90 градусам. Отсюда следует, что угол квадрата будет равен 90 градусов.  Потому что три угла в сумме равняется 180 градусов.

Так как площадь квадрата состоит из: суммы равных площадей, прямоугольных треугольников и площади квадрата. Таким образом, получили фигуру со сторонами a и b.Нам известно, что площадь квадрата со стороной a и b – это будет квадрат его стороны. То есть (a+b)².

1. Записываем формулу: (a+b)²;
2. Далее видим, что площадь прямоугольного треугольника равняется половине произведения его сторон катетов. Составляем выражение: \[(a+b)^{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}\].
3. Затем к полученной формуле плюсуем площадь квадрата, который построен в центре фигуры треугольник со стороной. Выполнив перечисленные действия получаем следующее выражение: \[(a+b)^{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}+c^{2}\]
4. Необходимо опустить скобки: a²+b²+2ab=2ab+c²
5. Сокращаем уравнение и получаем выражение:  c²=a²+b²

Использование теоремы в решении

Пример №1

Вычертим прямоугольный треугольник со сторонами, длины которых равны 4 и 5 соответственно.

Необходимо найти значение гипотенузы. Обозначим ее буквой “с”

Решение примера:

Сумма квадратов катетов 5² + 4²  равняется квадрату гипотенузы. В приведенной задаче это  – c² .

Применим на практике теорему Пифагора и подставим числовые данные: 5² + 4² = c²;

Подставив числовые значения и произведя расчет получаем следующие значения, 5²=25 , а 4² = 16 . Суммарное значение катетов равняется 41.

Следовательно 41= c². А именно: квадрат неизвестной стороны треугольника равен 41.

Выведем квадрат из числа 41 и получим значение 6,4.

Значение гипотенузы определено и равняется 6,4.

Ответ задачи: значение гипотенузы равно — 6,4.

Пример №2

Решение примера:

Для примера решения возьмем треугольник, где длина гипотенузы равняется 12, длина одного катета равна =10

Необходимо вычислить значение неизвестного нам катета.

Неизвестное значение стороны треугольника обозначим буквой – b.

Воспользуемся теоремой Пифагора и определяем неизвестное значение, подставляя числовые данные в формулу.

10²+b²=12²

10²=100, а 12²=144;

Вычисляем уравнение и записываем следующее выражение:

100+b² = 144;

Далее находим значение неизвестного катета в квадрате b²

b² = 144 — 100;

b²=44;

Получаем  b²=44, следовательно выводим квадрат числа и получаем значение b=6.6.

Ответ задачи: значение второго катета составляет 6,6