Формула Эйлера для комплексных чисел

Свое название данная формула получила от имени известного ученого, математика Л. Эйлера. Именно этот ученый и является основоположником и в свое время ввел формулу в работу.  

Формула Эйлера позволяет установить взаимосвязь между показательной функцией с тригонометрическими функциями.

Тождества и формулы Эйлера для комплексных чисел

Формуле Эйлера характерно следующее утверждение:

где:

• e — экспонента значения;
• i — нейкая мнимая единица.

Значение экспоненты определяется по следующей формуле:

Для комплексного значения которое равняется: \[z=x+y i\] выполняется соответствующее условие:

Когда значение z является вещественным значение и равным \[I_{m z}=0\], равенство имеет следующий вид:

Когда числовое значение z представлено как мнимое: \[\left(R_{e z}=0\right)\] из этого следует следующее выражение:

Используя на практике формулу Эйлера получаем получается следующее выражение:

Комплектное значение z, выраженное как тригонометрическая формула (выражение):

где:

\[\mathrm{r}=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\] значение модуля данного числа.

Используя формулу Эйлера, записывается следующее выражение:

Формула Эйлера позволяет определить неизвестные значения тригонометрических функций sin и cos, используя соответствующие формулы:

Понятие тригонометрической функции от некой комплексной переменной значения. Для значения x=iy выражают следующие формулы:

Тождество Эйлера, которое связывает между собой пять основных констант математики.

Данное выражение является частным случаем, когда значение x равняется переменной \[\pi\].

Применяя формулу Эйлера можно выразить следующие тригонометрические и показательные формы (виды), которые характеризуют действительные, комплексные числа.

где:

r — значение модуля, заданного комплексного числового значения;

Данный модуль определяется по формуле:

\[\varphi\] −значение аргумента, который относится к комплексному числу z.

Значение аргумента вычисляется по формуле:

Комплексные числа, которые выражены в виде тригонометрических формул и форм

Применяя формулу, составляет следующее выражение:

Вычисленное значение по предыдущей формуле записывается в тригонометрическую формулу:

где: r — значение модуля;

Данный модуль определяется по формуле:

\[\varphi\] значение аргумента, который относится к комплексному числу z.

Значение аргумента вычисляется по формуле:

Возведение комплексных чисел в степень с показателями произвольных значений:

Круги Эйлера и соответствующие формулы

Рассмотрим формулу Эйлера на примерах:

Для вышеперечисленных формул характерен также и геометрический смысл.

Его сущность состоит в следующем:

• если возвести в степень любое значение числа z, тогда его модуль (некоторое расстояние до центральной оси), также возводится в эту же степень n;
• аргумент значения (угол поворота в градусах относительно осевой линии), будет увеличиваться в n раз, то есть в значение равное значению возводимой степени.

Формула, которая отражает возведение в степень, для конкретного комплексного числа, является верной не только для целых чисел n. Она также справедлива и для действительных чисел.

Следовательно, комплексная форма, которая выражения числа, позволяет определить корневое значение любой степени для произвольного ряда действительного числа.

Примеры применения формулы Эйлера, для решения задач разного типа

Пример №1:

Необходимо представить все комплексные значения чисел в показательной форме.

1. \[\mathrm{z}=2+0 i\]
2. \[\mathrm{Z}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2} \cdot i\]

• Чтобы представить значения в показательной форме, нужно записать ее основную формулу:

Из условия задачи следует, что a=2, b=0.

Определяется модуль начального (исходного) комплексного значения:

Затем определяется исходный аргумент, используя необходимую формулу:

Искомое представление значение комплексного числа \[\mathrm{z}=2 \cdot e^{i 0}\]

• Из условия задачи следует, что \[a=\frac{3}{2}, b=\frac{3}{2}\]

Используя нужные формулы можно вычислить модуль исходного значения комплексного числа:

Аргумент исходного значения для комплексного числа определяется по следующим правилам:

Все значения, которые определены в ходе решения, подставив в формулу и получим окончательный ответ задачи:

Из этого следует, что \[Z=\frac{3 \sqrt{2}}{2}\] является искомым значением представленного комплексного числа.

Пример №2:

Заданы значения комплексных чисел. Необходимо их представить в показательной форме, используя известные формулы и правила в ходе решения.

1. \[\mathrm{z}=\sqrt{3}\]
2. \[z=5 \cdot(\cos 2 \pi+i \cdot \sin 2 \pi)\]

Для определения данных   задачи применим алгоритм решения.

Для показательной степени характерно решение по следующей формуле:

Для определения значения модуля и аргумента используем следующую формулу и подставив известные нам значения:

Показательный вид будет представлен следующим образом: \[z=\sqrt{3} e^{2 \pi i}\]

Определим значение модуля и аргумента для значений:

Для данных значение показательная форма будет представлены  в виде следующих значений: \[z=5 \cdot e^{2 \pi i}\]

Ответ: \[z=\sqrt{3 e^{2 \pi i}} \text { и } z=5 \cdot e^{2 \pi i}\]