Сложение и вычитание корней, примеры
Квадратным корнем или корнем 2-ой степени числа X называется число, которое при умножении само на себя даёт число b, т. е. a*a = b.
В статье мы поговорим о таких действиях с квадратными корнями, как сложение и вычитание.
Свойство 1.
Корень, взятый от умножения двух корней равен произведению корней от указанных множителей, если они больше нуля:
√(a*b) = √a*√b, где a и b – неотрицательные числа.
Свойство может быть распространено на большее число множителей, т. е. √(a*b*…*d) = √a*√b* …*√d. При этом, если число отрицательных множителей чётное, то их произведение всё равно даст положительное число, а значит свойство останется справедливым.
Свойство 2.
Корень отношения из отношения членов выражения равен отношению корней:
√(a/b) = √a/√b, где a – неотрицательное, не равное нулю число, число и b – неотрицательные число.
Свойство 3.
√a2n= an, где a – неотрицательное, натуральное, не равное нулю число.
Сложение и вычитание корней возможно только если выражение под корнем у них одно и то же. В частности, можно сложить или вычесть один из другого 2√7 и 5√7, а вот такие же действия с 2√7 и 5√8 или с 2√2 и 5√7 провести уже не получится. В частности, невозможно вычисление суммы или разности типа 5 + √X или 5 — √X. Если число целое, значит подкоренным числом является 1. Фактически любое число можно записать как N или как N √1.
Общие правила сложения и вычитания корней
В общем случае порядок действий при сложении и вычитании квадратных корней следующий:
- Соединяем корни посредством знаков, обозначающих соответствующие операции. Допустим нам нужно из корня X вычесть корень Y. Записываем выражение √X — √Y. Если нам требуется сложить, то выражение будет √X + √Y
- Приводим выражения к простейшей форме, т. е. если между ними имеются подобные, то делаем приведение. Так называется математическая операция, при которой коэффициенты подобных членов берутся со знаками соответствующих членов, заключаются в скобки, затем общий корень выводится за их пределы. Упрощение полученного коэффициента происходит по общим правилам математики.
Вся сложность заключается в упрощении подкоренного выражения. Когда приступаешь к этому, не известно получится ли его упростить. Окончательно решить вопрос можно лишь попробовав подобное сделать.
Сложение и вычитание квадратных корней, простейшие случаи
Пример 1. Сложить √4 + √64. Казалось бы числа под знаком корня разные, и складываться не должны, но √4 = 2, а √64 = 8. Получаем 2√1 + 8√1 или 2 + 8. Результат равен 10. Ответ: √4 + √64 = 10. Это один из примеров того, как складывать разные корни. К сожалению, так легко получается далеко не всегда.
Пример 2. Сложить 7√3 + 5√3. Выносим √4 за скобки, получаем (7+5) √3 или 12√3.
Ответ: 7√3 + 5√3 = 12√3.
Пример 3. Вычесть √64 — √4.
Т. к. √64 = 8, а √4 = 2, получаем √64 — √4 = 8 – 2 = 6.
Ответ: √64 — √4 = 6.
Пример 4. Вычесть 7√3 — 5√3.
Выносим √3 за скобки, получаем (7-5) √3 = 2√3.
Ответ: 7√3 — 5√3 = 2√3.
Пример 5. Сложить √45 + 4√5.
Число √45 можно представить в виде √(9*5). Как известно √9 = 3, выносим это число из-под знака корня. Получаем 3√5. Нам нужно будет выполнить сложение 3√5 + 4√5. Подкоренное выражение одинаковое, поэтому действие допустимо. Выносим √5 за скобки и получаем (3+4)√5 = 7√5.
Ответ: √45 + 4√5 = 7√5.
Пример.6. Вычислить выражение 6√40 — 3√10 + √5.
Упрощаем число 6√40. Разлагаем √40 на множители: 6√(4*10). Выносим 4 из-под корня: 6*2√10. Перемножаем 6 и 2, в результате имеем 12√10.
Выражение 6√40 — 3√10 + √5 записываем в виде 12√10 — 3√10 + √5. У первых двух членов общее подкоренное число √10, выносим его за скобки и получаем (12-3)√10 + √5 = 9√10 +√5. Больше упрощать некуда.
Ответ: 6√40 — 3√10 + √5 = 9√10 +√5.
Вычитание и сложение квадратных корней с помощью сокращения знаменателя
Это часто бывает нужно, когда требуется избавиться от иррациональности в знаменателе. Нам дано выражение N/(√X +√Y). Умножаем обе части дроби (числитель и знаменатель) на √X -√Y. Вспомните формулу сокращённого умножения. (a+b)*(a-b) = a2 – b2. Применительно к нашему случаю это будет (√X +√Y)*(√X -√Y) = X-Y.
Пример 7. Вычислить 4 / (√3 + √5). Умножаем всё на (√3 — √5). В результате получаем
4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) =
= 4 * (√3 — √5) / (3-5) = 4 * (√3 — √5) / (-2) =
=2 * (√5 — √3).
Далее задача посложнее.
Пример 8. Нужно вычислить выражение 12 / (√2 + √3 + √5). Поступить можно только одним образом – умножить обе части дроби на (√2 + √3 — √5). Обратите внимание, последний знак в выражении минус, а не плюс, как в исходном. В результате мы имеем:
12*(√2 + √3 — √5)/[(√2 + √3 + √5)* (√2 + √3 — √5)].
После последовательного перемножения всех чисел получаем 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6). Упрощаем выражение далее и в итоге получаем: 2 * √3 + 3 * √2 — √30.
Ответ: 12 / (√2 + √3 + √5) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.
Теперь вы знаете, как складывать квадратные корни при действиях с дробями.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Приближённое вычисление квадратного корня
Приближённое сложение и вычитание корней проводится следующим образом:
Сначала на калькуляторе вычисляем точное значение каждого из корней, округляем их до требуемой степени точности, после чего проводим сложение приближённых чисел.
Иногда это является единственным доступным способом решить задачу, а иногда используется в качестве проверки результата, полученного иным путём.
Пример 9. Сложить √7 + √5. Сложение этих квадратных корней проводим, используя калькулятор точное значение √7 = 2,645751, и точное значение √5 = 2,236067.
Округляем полученные числа и складываем их 2,65 + 2,24 = 4,89.
Важно. Выражения √(X+Y) = √X +√Y и√(X-Y) = √X — √Y абсолютно не верны. Чтобы убедиться в этом, давайте посчитаем сколько будет √(9+16) = √25 = 5.
Если складывать, числа как отдельные корни, то, √9 +√16 = 3 + 4 = 7.
Посмотрите, сколько будет, если √(16-9) = √7 ≈ 2,65, При вычитании чисел, как отдельных корней √16 — √9 = 4 – 3 = 1.
Дополнительные примеры
Приведём ряд дополнительных примеров по сложению и вычитанию корней.
Пример 10. Вычислить √9 + √4 — 3√2. Из 9 и 4 квадратные корни вычисляются очень легко. √9 = 3, √4 = 2. В результате имеем 3 + 2 — 3√2 = 5 — 3√2. Это выражение дальше уже никак нельзя сделать проще, т. е. окончательным будет результат 5 — 3√2.
Ответ: √9 + √4 — 3√2 = 5 — 3√2.
Пример 11. Вычислить (√2)/4 + (√2)/2. Сначала находим наименьший знаменатель указанных дробей. Не сложно понять, что он равен 4. Чтобы привести к наименьшему знаменателю вторую дробь, умножаем её на 2/2 и получаем (2√2)/4. Теперь нам остаётся сложить лишь числители, знаменатель остаётся прежним. В итоге получаем (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4.
Ответ: (√2)/4 + (√2)/2 = (3√2)/4.
Пример 12. Посчитать выражение (√X+√Y)/ (√X-√Y). Умножаем указанное выражение на дробь (√X+√Y)/(√X+√Y), В результате будем иметь
[(√X+√Y)*(√X+√Y)]/[(√X-√Y)*(√X+√Y)] = (√X+√Y)2/(X-Y).
Далее нужно раскрыть скобки. Тогда мы получим [X + 2√(X*Y) + Y]/(X – Y).
Ответ: (√X+√Y)/(√X-√Y) = [X + 2√(X*Y) + Y]/(X – Y). Проще исходного полученное выражение назвать сложно. Скорее это наглядный пример того, что упрощение возможно далека не всегда. Его попытка имеет смысл лишь для того, чтобы в последнем убедить себя окончательно.
Пример 13. Вычислить выражение (√2 +√3)*(√2-√3)3/(2-2√6+3). Раскладываем второй множитель числителя на два множителя
(√2-√3)3 = (√2-√3)2*(√2-√3). После этого будем иметь выражение [(√2-√3)2*(√2-√3)*(√2 +√3)]/(2-2√6+3), но ведь (√2-√3)2 = 2 -2√6+3 и оно совпадает со знаменателем дроби, а значит может быть сокращено. Мы имеем (√2-√3)*(√2 +√3), по известной формуле (a+b)*(a-b) = a2 – b2 в результате мы получаем (√2-√3)*(√2 +√3) = 2 – 3 = -1.
Казалось бы, очень сложное выражение получилось равным (-1). Результат абсолютно точен. Вычисляя выражение через приближённые значения корней, мы пришли бы к тому же самому результату, то в его точности сомнения тогда могли бы остаться. Сейчас же их совершенно нет. Надеемся, что статья была для вас понятной и полезной.
Выполнение любых работ по математике
Популярные статьи
Примеры решения матриц с ответами
Общее уравнение плоскости
Метод Крамера – теорема, примеры решений
Нахождение площади фигуры ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)