Умножение корней: методы и применение

Понятие корня

Прежде чем приступить к рассмотрению темы о умножении корней, необходимо вспомнить, что же такое корень и его основные свойства.

Понятие корня неразделимо с понятием степени.

Возведение в степень х, означает умножить число само на себя х раз.

Например. Квадратный корень из а, равен а в квадрате.

Имеет запись вида : \[\sqrt{\mathrm{a}}=\mathrm{a}^{2}\]

Степень корня указывается над знаком корня слева. \[\sqrt[x]{a}\], в данном примере х — степень. Если запись не имеет такого обозначения, значит перед нами корень квадратный.

Умножение корней

Существует несколько вариантов умножения корней, это умножение с множителем, без множителя и с разными показателями.

Умножение без множителей

Первым делом рассмотри, как умножаются корни без множителя.

Убедившись, что корни, с которыми необходимо произвести действие имеют одинаковые степени. Например квадратный корень из числа а, можно умножать на квадратный корень из d.

Рассмотрим правило на двух примерах произведения двух квадратных и двух кубических корней.

Примеры:

\[\sqrt{2} * \sqrt{6}=\] первый пример умножение квадратных корней.

\[\sqrt[3]{3} * \sqrt[3]{18}=\] второй пример умножение кубических корне.

Решение:

Для того чтобы решить данные примеры необходимо произвести умножение под корнем.

\[\sqrt{2} * \sqrt{6}=\sqrt{2 * 6}=\sqrt{12}\]

\[\sqrt[3]{18} * \sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{18 * 3}=\sqrt[3]{54}\]

Следующим шагом полученное выражение стоит упростить. Для этого полученное число под корнем необходимо представить в виде множителей, где в зависимости от корня одно из чисел чисел это полный квадрат или куб.

\[\sqrt{12}=\sqrt{4 * 3}=\sqrt{2^{2} * 3}=2 \sqrt{3}\], в данном примере число 12 можно разложить на произведение чисел 4 и 3, где 4 равно двум в квадрате.  Поэтому 2 выносим за приделы корня и упрощаем выражение.

\[\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27 * 2}=\sqrt[3]{(3 * 3 * 3) * 2}=3 \sqrt[3]{2}\] в данном случае получившееся подкоренное число 54 можно разложить на произведение двух чисел 27 и 2 , где 27 = 3³, тройку выносим за корень кубический, тем самым мы упростили выражение.

Точно также производится умножение корней других степеней, при этом не важно количество умножаемых корней, правило не изменится.

Умножение корней с множителями

В данном случае мы так же рассматриваем примеры умножения корней с одинаковыми степенями. Множителем является число, стоящее перед корнем. Если при написании множитель отсутствует, то он равен единице. Умножить корень на число значит умножить число на множитель перед корнем. Для того чтобы произвести умножение с такими корнями, необходимо перемножить множители.

Пример умножения корней:

\[2 \sqrt{6} * \sqrt{6}=2 \sqrt{6 * 6}=2 \sqrt{36}=2 * 6=12\] в данном примере мы сначала произвели умножение множителей 1 и 2 , затем воспользовавшись первым правилом умножения корней, произвели умножение под знаком корня чисел 6 и 6.

Следующим шагом упрощаем выражение, корень из 36, равен целому числу 6. последним действием умножаем его на полученный множитель 2. и получаем ответ 12.

Пример 2.

\[2 \sqrt{6} * 3 \sqrt{3}=2 * 3 \sqrt{6 * 3}=6 \sqrt{18}=6 \sqrt{9 * 2}=6 * 3 \sqrt{2}=18 \sqrt{2}\]

В приведённом примере, мы также в начале производим умножение множителей 2 и 3, затем производим умножение подкоренных чисел 6 и 3, в результате получаем 6 корней из 18.

 После производим упрощение выражения под знаком корня, для этого разложили его на множители, таким образом чтобы одно из чисел можно было вынести за пределы знака корень такими числами стали 9 и 2, в результате получилось, что вынесенное число равно трём, так как 9 = \[3^{2}\] .

Теперь умножим получившийся ранее множитель 6 на вынесенное из под корня число 3, и получим ответ 18 корней из двух.

Умножение корней с разными показателями

Теперь разберём, как умножить корни если их показатели степени разные. Для этого необходимо найти наименьшее общее кратное число для этих показателей.  Таким числом является наименьшее число, которое можно разделить на оба эти показателя. Для того чтобы разобраться лучше в данном методе, приведём пример.

Пример:

Сначала необходимо найти наименьшее общее кратное, наименьшим в данном случае является произведение 2*3 = 6. Значит для того чтобы произвести умножение корней необходимо привести их к показателю шестой степени.

Записываем новое полученное выражение \[\sqrt[6]{2} * \sqrt[6]{5}=\]

Теперь находим числа на которые нужно умножить показатели, чтобы найти наименьшее общее кратное

Для первого корня это деление 6\2 = 3, для второго 6\3 =2

Следующим шагом нужно возвести подкоренное число в степень, которая ровна числам найденным ранее, при нахождении НОК, то есть \[\sqrt[6]{2^{3}} * \sqrt[6]{5^{2}}=\]

Далее имея одинаковые показатели производим действия по умножению корней, так как делали это в предыдущих правилах. Производим действия под корнем.

\[\sqrt[6]{2^{3}} * \sqrt[6]{5^{2}}=\sqrt[6]{2^{3} * 5^{2}}=\sqrt[6]{8 * 25}=\sqrt[6]{200}\]

Если полученное выражение можно упростить, то упрощаем его. В данном случае это невозможно.

Как мы видим произвести умножение корней не так и сложно, главное запомнить основные правила и формулы умножения корней и пользоваться ними.