Квадратные неравенства, примеры, решения

Что такое квадратные неравенства

В выражении a,b,c – простые числа, y не равно нулю,  вместо знака ˂ может стоять любой знак, выражающий неравенство.

Во многих источниках по математике можно встретить квадратные неравенства под наименованием «неравенства второй степени». Это легко пояснить. Левая часть приведенного выражения присутствует многочлен второй степени в виде квадратного трехчлена:

a×y2+b×y+c

Многие называют такие неравенства квадратичными, но это неправильно, так как квадратичными в математике принято называть функции. Они имеют вид:

\[x=a \times y 2+b \times y+c\]

Чтобы можно было легко понять разницу, лучше на примере рассмотреть, что такое квадратные неравенства системы уравнений.

Пример:

3×y²+1×y+14>0

В приведенном примере в качества a цифра 3, в качестве b число 1, в качестве c число 14.

В качестве простых чисел могут быть и положительные, и отрицательные числа, дроби, и т.д.

Решение квадратных неравенств производится с учетом того, что значение y²  не равно нулю. В этом случае неравенство будет иметь совсем другой вид и будет уже не квадратным в связи с тем, что при умножении на нуль всегда получается нуль. При этом стоит учитывать и то, что переменные b и c могут иметь значение 0, и оба, и по отдельности.

Пример такого неравенства можно записать:

\[y^{2}-8 \geq 0\]

Как решать квадратные неравенства

Есть несколько методов решения неравенств квадратных уравнений:

• Графический.
• Методом интервалов.
• Посредством выделения квадратного двучлена из левой части выражения.

Рассмотрим подробнее особенности применения каждого метода.

Графический метод решения квадратных неравенств

Метод заключается в выполнении анализа и изучения графика квадратичной функции.

x=a×y²+b×y+c для квадратных неравенств типа a×y2+b×y+c<0.

В качестве решения квадратного неравенства выступают интервалы, на которых эта функция принимает или положительное, или отрицательное значение.

Метод интервалов

Еще один метод, как решить квадратное неравенство – метод интервалов, при условии, что в выражении только одна переменная. Этот способ актуален и используется для решения практически всех видов неравенств, а не только квадратных. Способ состоит в том, чтобы определить знаки интервалов, на которые делится координатная ось нулями трехчлена:

a×y²+b×y+c,

если таковые имеют место быть.

Для квадратного неравенства, имеющего вид a×y²+b×y+c<0, ответом будут интервалы со знаком минуса.

Для квадратного неравенства, имеющего вид a×y2+b×y+c>0, ответом будут интервалы со знаком плюс.

Если решение квадратных неравенств предполагает поиск ответа нестрогого неравенства, то решением будет интервал, на котором расположены точки, идентичные нулям трехчлена.

Выделение квадрата двучлена

Чтобы выделить квадрат двучлена из левой части выражения, потребуется выполнить равнозначное преобразование, после чего можно будет решать равносильное неравенство, имеющее вид:

Вместо знака ˂ может встречаться любой другой, кроме знака равенства (>,≥, ≤).

В неравенствах такого плана y и z – любые числовые значения.

Неравенства, которые сводятся к квадратным

К квадратному можно привести любое другое неравенство с помощью равносильного преобразования. Для преобразования можно использовать любой метод:

• Перенос слагаемых, их перестановкой из одной части неравенства в другую.
• Левую часть приравнять к нулю и решить полученное выражение.
• Использовать графики и чертить интервалы.
• Полученные при решении корни разместить на числовой оси по возрастанию так, как показано на рисунке.

На примере рассмотрим, как решать квадратные неравенства.

Пример:

Необходимо решить квадратное неравенство \[y^{2}+y-12^{<} 0\]

1. Первым делом потребуется переместить в левую часть все составляющие, чтобы справа остался только нуль. В данном примере первое действие можно опустить, так как справа итак кроме нуля отсутствуют всякие символы.
2. Второе действие – это приведение y² к положительному коэффициенту. Учитывая, что в неравенстве \[y^{2}+y-12^{<} 0\] при y² стоит коэффициент 1, второе действие автоматически тоже опускается.
3. Левую часть выражения приравняем к нулю и решим полученное выражение.
   \[y^{2}+y-12=0\]
   \[y_{1,2}=\frac{-1 \mp \sqrt{1^{2}}-4 \times 1 \times(-12)}{2 \times 1}\]
   \[y_{1,2}=\frac{-1 \mp \sqrt{1}+48}{2}\]
   \[y_{1,2}=\frac{-1 \mp \sqrt{49}}{2}\]
   \[\mathrm{y}_{1,2}=\frac{-1 \mp 7}{2}\]
   \[y_{1}=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4\]
   \[y_{2}=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3\]
4. Теперь можно нанести полученные значения на ось в порядке возрастания.

Для упрощения нахождения нужных интервалов можно нарисовать арки и проставить в них знаки «+» или «-» поочередно.

Так как мы получим только один отрицательный интервал в значении от -4 до 3, то ответ можно будет записать в виде:

Ответ: \[-4^{<} y^{<} 3\].

Этот метод решения назван методом интервалом из-за того, что при решении мы рассматривали интервалы между полученными значениями.