Решение интегралов

Практическое применение интегралов в жизни

Реальный мир не идеален и не прямолинеен. В нем нет геометрических форм без изъяна, нет движения без ускорения. И зависимости между величинами редко представлены прямой линией. Поэтому вычисления не обходятся без интегралов.

Множество частных случаев из жизни делают интегрирование не просто полезным, а необходимым действием. Интеграл поможет:

• рассчитать стоимость, изучив зависимость потребности от предложений;
• вычислить время выполнения работы, с учетом усталости людей;
• узнать, как изменяется долг по кредиту в течение времени;
• определить прирост жителей города

Место интегралам нашлось не только в физико-математических науках, но и в астрономии, экономике, медицине, биологии и архитектуре.

Понимая практическую значимость интегралов, легче усвоить базовые понятия и применять их в решении задач.

Из истории интегрирования

Интегрирование рассматривается, как сложение бесконечно малых частей бесконечное количество раз.

Интегральный расчет получен при определении площадей и объемов. Правила измерения квадратуры были известны древним ученым. В Египте и Вавилоне вычисляли площади круга и объем усеченной пирамиды.

Значительный вклад внесли древнегреческие ученые. Первый метод интегрирования назвали «исчерпание» по аналогии с водой, которую черпают кружкой из ведра. В Древней Греции Архимед объяснил задачу вычисления площади круга без знаний о числе «Пи».

Описание метода

Для нахождения площади круга в него вписываются геометрические фигуры. Высчитывается предел последовательности площадей этих фигур, который и принимается за площадь круга.

Данный способ вычисления площади рассматривает идею интегрирования. То есть нахождения предела безграничной суммы. Метод нашел применение в решении прикладных задач в разных научных областях.

Ньютон и Лейбниц сформулировали теорию интегрирования опираясь на законы дифференциального исчисления. Чтобы разобраться в классической теории нужно получить базовые знания.

Смысл интегрирования заключается в двух видах задач: геометрических и аналитико-алгебраических. В первом случае находят площади фигур, во втором подсчитывают суммарное значение переменной величины, принимающей различные значение единиц времени, длины и других измерений.

Понятие «Интеграл» в простом изложении

Термин «интеграл» произошел от латинского integer, то есть «целостный». Данный термин предложил математик Лейбниц еще в 17 веке.

Интеграл – первообразная функции. Интегрирование – определение первообразной.

В математике интеграл вычисляет площадь, ограниченную кривой линией. Неопределенный интеграл – это вся фигура. Определенный интеграл – площадь некоторой части.

Запись интеграла функции:

х – аргумент, его можно заменить любой другой переменной, в отношении которой будет осуществляться интегрирование. d – бесконечно малое число. Сочетание «dx» называют приращением и рассматривают, как бесконечно малый «икс».

На рисунке криволинейная трапеция разбита на столбцы шириной х, число столбцов – d.

Неопределённый интеграл

Сумма F(x)+C всех первоначальных функций f(x) на интервале а< x<b  является неопределенным интегралом от функции  f(x) на этом интервале и обозначается ∫f(x)dx .

Если функция F(x) является первообразной для f(x) , то по определению

∫ f(x)dx = F(x)+C 

∫ — знак интеграла, f(x)dx — подынтегральное выражение, f(x) — подынтегральная функция, х — переменная интегрирования, С — произвольная постоянная.

При нахождении неопределённых интегралов вычисляют первообразную и прибавляют «C».

Определённый интеграл

Определенный интеграл – это число, обозначающее площадь части фигуры. Значение аргумента ограничены промежутком a≤x≤b.

Обозначение \[\int_{a}^{b} f(x) d x\] читается, как «интеграл от а до b от функции f(х) по dx.

В графике на рисунке ограничения А и В обозначены на оси X.

Определенные интегралы выражают площадь плоской фигуры, длину кривой, объем  и поверхность тела, координаты центра тяжести, инерцию, работу.

Чтобы найти определенный интеграл, нужно вычислить первообразную, заменить значения «a» и «b» и посчитать разность. Связь между первообразной функцией  и определенным интегралом выражает формула интеграла, Ньютона-Лейбница:

Таблица первообразных для решения интегралов.

Рассмотрим таблицу интегралов:

Правильное вычисление интегралов

Решение заданий с интегралом сводится к интегрированию функции по переменной. Когда интеграл имеет табличный вид, для решения нужна лишь таблица интегралов. В иных случаях необходимо упростить выражение, привести к табличной форме.

Прежде, чем приступить к преобразованию выражений с интегралами следует выучить основные свойства интегралов:

Простые способы преобразования выражений с интегралами помогут разобраться с более сложными теоремами и вычислениями интеграла:

Вынесение константы из-под знака интеграла:

Разложение на сумму интегралов суммы интеграла:

Знак интеграла изменится, при подмене а на b и b на а.

Разбиение интеграла на промежутки:

Примеры вычисления интегралов

Найти неопределенный интеграл.

Часто при решении используют тригонометрические формулы.

Решение определенного интеграла.

Давайте рассмотрим несколько примеров вычисления интегралов:

Пример 1.

Пример 2.

Словарь базовых понятий.

Для понимания сути интеграла необходимо разбираться в базовых понятиях: функция, производная, приращение, предел.

Функция – отношение между элементами, где изменение одного элемента, повлечёт изменение другого.

Производная – функция, которая описывает скорость трансформации второй функции в каждой данной точке. Вторая функция называется первообразной. По сути — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента.  Высчитывание проводят, используя таблицу производных со стандартными функциями.

Приращение – количественная степень изменения функции при вероятном изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремится значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Решение задач с интегралами могут показаться сложными. Выполнение практических заданий поможет преодолеть трудности.

Решение интегралов сводится к простым видоизменениям подынтегральной функции и поиску её в таблице интегралов.

Мы также можем отметить, что интегралы играют не последнюю роль в нашей жизни. В Биологических науках, к примеру, при их помощи узнают прирост популяции видов, в медицине используют в различных исследованиях, например, в томографии, в астрономии рассчитывают передвижение космических объектов и многое другое. Да и вообще трудно найти область, в которой не применяются данные методы вычисления.