Таблица интегралов
Для быстрого интегрального исчисления нужно знать, как искать производные простой и сложной функции. Ведь нахождение интеграла и производных являются взаимно обратные операции. Для интегрирования потребуются: таблица интегралов полная и также формулы интегралов таблица основных свойств, таблица производных и интегралов.
У многих возникает сложность в изучении и понимании неопределенных интегралов. Если производные обладают всего лишь 5 правилами дифференцирования, четким алгоритм, таблицей производных, то при интегрировании совсем иначе. Используются десятки приемов и способов интегрирования. При неверном выборе способа интегрирования и различного метода интеграл вычислять можно долго, так как он представляет собой некий ребус.
Определение первообразной
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.
Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство (F(x)+C)׳=f(x). Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.
Определение неопределенного интеграла
Совокупность функций первообразной для данной функции y=f(x), которая имеет место на некотором отрезке [a;b], называют неопределенным интегралом y=f(x).
Неопределенный интеграл имеет обозначение: \[\int f(x) d x=F(x)+C, c=\text { const }\].
Определение интегрирования
Операция нахождения интеграла называется интегрированием.
Дифференциал с интегральным выражением являются взаимно обратными действиями. У любой непрерывной на интервале функции есть какой-либо неопределенный интеграл.
Кратко о терминах и обозначениях:



Таблица интегралов:

Таблица производных не включает формулы, которые соответствуют формулам из 10,13,14 таблицы. Чтобы проверить справедливость формул, необходимо произвести дифференцирование над ними.
Формулы интегралов, полная таблица основных свойств:

Расшифровка свойств интегралов:
- Неопределенный интеграл при интегрировании функции является равным предоставляемой функции.
- Производная от интегрального выражения будет равна подынтегральной функции, а дифференциал будет равен подынтегральному выражению.
- Множитель в виде числа можно выносить за интеграл.
- Интегральное выражение от суммы функций имеет такое же значение, как сумма интегральных выражений.
- Подынтегральное выражение с множителями внутри равен подынтегральному выражению с выносимой константой.
C помощью них можно упростить выражение интеграла и вычислить элементарными действиями.
Стоит рассмотреть примеры для лучшего восприятия темы:
Вычислить интеграл и сделать проверку:
Вычислим интеграл, раскрывая скобки. При этом знак интеграла относится к каждому члену выражения.
Берем в использование свойство интеграла в этом же действии:

Вынесем все существуемые константы за знак интеграла — в данном случае они представляют собой числа. Стоит обратить внимание, что последнее выражение tg5 — это и является константа, её также выносим.
На этом этапе стоит преобразовать степени, корни для интегрирования. Как при дифференцировании, корни представляем в формате \[x^{\frac{a}{b}}\]. Степени и корни, которые стоят в знаменателе переносим наверх с противоположным знаком.

Используя таблицу основных интегралов, интегрируем:

И окончательный ответ:

Примечание: В этом примере содержатся и используются только табличные интегралы. Все превращения осуществляются с помощью данных формул:
Стоит обратить внимание на формулу степенной функции: \[\int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, n \neq-1\], которая встречается почти в каждом примере.
Интеграл \[\int d x=x+C\] является частным случаем табличного интеграла: \[\int d x=\int x^{0} d x=\frac{1}{1} \cdot x^{1}+C=x+C\].
Константу C ставится только один раз в конечном выражении. Ставить после каждого интеграла не стоит.
Выполним проверку. Для выполнения проверки необходимо продифференцировать найденное выражение, то есть найти производную:

Если получилось исходное выражение, то интеграл был вычислен верно.
Раскрытие дифференциала происходит так:
- знак d необходимо убрать;
- ставится штрих справа над скобкой, чтобы обозначить производную;
- в конечное выражение добавляется множитель dx
Например: \[d(2 x-1)=(2 x-1)^{\prime} d x=(2-0) d x=2 d x\]
Проверить правильность табличного интеграла:
Решение:
Найдем производную от правой части выражения:
Производная получилось такая же, как и подынтегральная функция. Поэтому формула является верной.
Вычислить интеграл:
Решение:
Используем одно из основных свойств:
Используем свойство о вынесении множителя за интеграл:
С помощью таблицы:

При вычислении воспользуемся 5 свойством:
Найдем ответ:

При этом C1+C2 являются частями C. Если отдельно решается 2 и более интегралов, то к каждому члену ставится C с определенным индексом.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |