Формула нахождения вершины параболы

Понятие вершины параболы

Парабола – это геометрическое множество точек, которые равноудалены от точки F, и которая не является частью параболы и прямой, а также не проходит через центр отрезка.

Вершина параболы — это некая точка, которая расположена ближе всего в директрисе параболы. Данная точка является центром любого отрезка, который ограничен точками фокуса параболы и директрисой.

Данное уравнение будет справедливо только для параболы, вершина которой проходит через центр осей.

Чтобы определить принадлежность точки к графику заданной параболы, нужно точку подставить в уравнение:

где:

• a, b, c — заданные коэффициенты;
• х — ось координатной прямой.

Определение вершины кубической параболы

Ее каноническое уравнение в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид у = ах³, где а ≠ 0.

Для кубической параболы характерен центр симметрии в самом начале координат. Данная точка является точкой перегиба кривой. Касательная к кубической параболе, в этой же точке именуется как ось абсцисс.

Для того, чтобы определить точки вершин кубической параболы, нужно вычислить ее производную. Точки вершин, иначе еще называют точками минимума и максимума.

После того, как определится производная, нужно ее значение приравнять к нулевому. Затем можно приступать к вычислению значений x и y.

Определение вершин параболы, которая задана квадратичной функцией

Квадратичная функция вида: \[y=a x^{2}+b x+c\] очень часто используется для того, чтобы задать значения  параболы.

Вершина такой функции, всегда находится в произвольной точке.

В технических науках не существует единой формулы, чтобы вычислить сразу две вершины параболы. Однако, довольно легко определяются координаты вершины, по уже упомянутому уравнению.

Алгоритм решения задач по определению точек вершин параболы

1. Необходимо выписать коэффициенты a, b, c по условию заданного уравнения. При условии, что коэффициент а будет иметь положительное значение, можно сделать вывод: ветви параболы направлены вверх. Следовательно, если значение отрицательное, то ветви будут направлены вниз.
   
2. Вторым действием определяется абсцисса вершины параболы.
   (x) по следующей формуле \[x=-\frac{b}{2 a}\], для этого  необходимо применить коэффициенты  a, b, c из заданного по заданию уравнения.
3. Найденное значение x нужно подставить в уравнение, решить его, и тем самым будет выполнен окончательный расчет.
4. В ответ записать найденные координаты вершин параболы x и y.

Пример решения уравнения параболы

Рассмотрим подробно на примере, решение задач данной категории.

Запишем данное уравнение следующего вида: \[y=x^{2}-5 x+7\].

Воспользуемся алгоритмом решения, и выполним следующие действия:

1. Зададим коэффициенты параболы. Они равны следующим значениям: a=1, b=-5, с=7.
2. Чтобы вычислить вершину x параболы, нужно известные коэффициенты a=1, b=-5 подставить в формулу: \[x=-\frac{b}{2 a}=\frac{-5}{2}=2,5\].
3. Вычисленное значение х, нужно подставить в исходное уравнение: \[y=2,5^{2}-5 \cdot 2,5+7=0,75\]
4. Координаты вершины параболы будут равняться следующим значения: (0,75 и 2,5).