Формулы степеней

Основное определение степени

Левую часть равенства можно упростить. Для начала указать множитель, который повторяется, и обозначить количество его повторений. Повторяющийся множитель в данном случае это 2.  Дублируется он три и шесть раз соответственно. Поэтому над двойкой записываем 3 и 6: 

Формулировка выражений звучит следующим образом: 

1. два в четвертой степени равно шестнадцать;
2. два в шестой степени равно шестьдесят четыре;
3. два в восьмой степени равно двести пятьдесят шесть.

Натуральный вид степени тоже является степенью с целым показателем, потому что натуральные числовые значения также являются целыми числами.

Для степеней с целыми положительными показателями, свойства аналогичны, как и для натуральных показателей. 

Данная степень выражается в виде формулы:

Степень действительного числа с рациональным показателем \[q=\frac{r}{S}(r \in Z, \mathrm{~s} \in)\]  — это значение числа, которое определяется по формуле: \[\alpha^{q}=\sqrt[s]{\alpha^{r}}\].

Стоит отметить, тот момент, что s является четным числом, следовательно, \[\alpha>0\].

Значение положительного числового показателя \[\alpha\] с иррациональным показателем равным \[j\] — это число \[\alpha^{j}\] и будет определяться следующим образом:

Если \[\alpha=1\], то значение \[\alpha^{q}\] также будет равняться единичному значению, согласно основному свойства степеней.

Если \[\alpha>1\], тогда значение числа \[\alpha^{q}\] будет соответствовать следующему условию: \[\alpha^{q_{1}} \mathrm{j}\], при этом \[0=\mathrm{j}\].

Формулы степеней. Основные виды. Доказательства

Рассмотрим подробно, и докажем основное свойство с целым показателем.

1. \[\alpha^{z} \cdot \alpha^{k}=\alpha^{z+k}\].
   Доказательство приведенной выше формулы будет выглядеть следующим образом:
   Исходя из первого определения: \[\alpha^{z}=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \alpha(z), a^{k}=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha(k)\].
   Следовательно: \[\alpha^{z} \cdot \alpha^{k}=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha(z) \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha(k)=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha(z+k) \alpha^{z+k}\].
2. \[\frac{\alpha^{z}}{\alpha^{k}}=\alpha^{z-k}\].
   Доказательство представленного выражения:
   \[\frac{\alpha^{z}}{\alpha^{k}}=\alpha^{z} \cdot \alpha^{-k}\].
   \[\frac{\alpha^{z}}{\alpha^{k}}=\alpha^{z} \cdot \alpha^{-k}=\alpha^{z+(-k)}=\alpha^{z-k}\].
3. \[(\alpha \beta)^{z}=\alpha^{z} \cdot \beta^{z}\]
   Докажем представленную формулу: \[(\alpha \beta)^{z}=\alpha \beta \cdot \alpha \beta \cdot \ldots \cdot \alpha \beta \quad(z \text { paз) }\].
   Используя правило перестановки множителей, составим и запишем следующее выражение:
   \[(\alpha \beta)^{z}=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha(z \text{ paз }) \cdot \beta \cdot \beta \cdot \ldots \cdot \beta(z \text{ paз })=\alpha^{z} \cdot \beta^{z}\].
4. \[\left(\alpha^{z}\right)^{k}=\alpha^{z k}\]
   Выполним доказательство данной формулы.
   Исходя из первого определения, формулу можно преобразовать в следующий вид: \[\left(\alpha^{z}\right)^{k}=\alpha^{z} \cdot \alpha^{z} \cdot \ldots \cdot \alpha^{z}\]
   Из данной записи следует, что: \[\alpha^{z}=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha\]
   Тогда окончательная формула доказательства будет выглядеть как: \[\left(\alpha^{2}\right)^{k}=\alpha \cdot \quad \alpha \cdot \ldots . \cdot \alpha(z \text { paз }) \cdot \ldots \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \ldots . \alpha(z \text { paз })(\mathrm{k} \text { paз })=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha(z k \text { раз })=\alpha^{2 k}\].
5. \[\frac{\alpha^{z}}{\beta^{z}}=\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{z}\].
   Проведем доказательство формулы:
   \[\frac{\alpha^{z}}{\beta^{z}}=\alpha^{z} \cdot \beta^{-z}\].
   Применим четвертую формулу и получим следующую формулу степеней:
   \[\frac{\alpha^{z}}{\beta^{z}}=\alpha^{z} \cdot \beta^{-z}=\alpha^{z} \cdot\left(\beta^{-1}\right)^{z}=\alpha^{z} \cdot\left(\frac{1}{\beta}\right)^{z}\].
   \[\frac{\alpha^{z}}{\beta^{z}}=\alpha^{z} \cdot\left(\frac{1}{\beta}\right)^{z}=\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{z}\].

Все эти формулы одинаково подходят также и для рациональных и для иррациональных показателей. Следовательно, будут являются их свойствами. Поэтому отдельно их рассматривать и доказывать не нужно.

Примеры решения задач c использованием формул степеней