Общее уравнение плоскости

Пространственная геометрия не сложнее обычной. Данная тема включает изучение науки о векторах и подробного понимания обычной геометрической науки.

В этой статье будем рассматривать общие уравнения плоскости. Также разберем практические примеры, проанализируем неполное общее уравнение плоскости и проходящих прямых линий.

Что называют общим уравнением плоскости

Поговорим об уравнении плоскости для трехмерного пространства.

Плоскость в трехмерном пространстве

Разбираясь в чертежах, необходимо знать стандартные обозначения.

Все геометрические плоскости обычно прописывают прописными буквами греческого алфавита, а прямые обозначают большими буквами. Иногда для обозначения используют греческий алфавит, но с подстрочными индексами снизу. Чтобы изобразить ее, необходимо нарисовать параллелограмм, который создаст впечатление плоскости в пространстве.

Поскольку плоскость является бесконечной структурой, мы сможем отобразить лишь ее небольшой кусок. Поэтому вокруг параллелограмма изображают неровный овал, произвольной формы.

В реальности она могут быть расположены в любом произвольном порядке, иметь любой наклон или угол.

Если имеется прямоугольная система координат, расположенная в трехмерном пространстве, то в уравнении будут 3 неизвестных. Чтобы добиться равенства, нужно поставить в уравнение координаты точки, которая расположена именно в данной плоскости.

Если будут поставлены координаты другой точки, не из данной плоскости, тождество не получится.

Представим, что в 3-х мерном изображении и прям-ной координатной системы Oxyz общее уравнение, проходящей через две линии, имеет 3 неизвестных: x, yes и z. Они удовлетворяют координатам плоскости.

Значит, что при использовании этих данных для каждой из точек, лежащей на плоскости, обязательно должно получиться равенство. Если равенства нет, то точка к ней не относится.

Для записи общего уравнения через точку, необходимо вспомнить определение прямой линии, перпендикулярной заданной плоскости.  

Это значит, что каждый нормальный вектор, соответствующий исходной плоскости, будет перпендикуляром к нулевому вектору, принадлежащему плоскости. Это является доказательством теоремы, которая будет определять вид общего уравнения.

Уравнение для плоскости, которая проходит через 3 точки

Если 3-мерном пространстве дана прямоугольная к-ная система, она обозначена обычно Oxyz.

Тогда уравнение, где данные a, b и C являются действительными числами больше нуля, именуется ур-ем плоскости на отрезки.

При абсолютном значении чисел a, b и с, они будут равны длине отрезков, обрезанных плоскостью по осям координат. Буквенные значения демонстрируют положительное или отрицательное направление линейных сегментов относительно оси координат.

Чтобы составить общее уравнение для исходной плоскости, можно применить следующую теорему.

Эта теорема содержит в себе 2 части:

1. Сначала получаем общее уравнение для плоскости, которая будет проходить через точку и саму плоскость.
2.  Затем мы доказываем, что данное уравнение можно использовать для действительных чисел, чтобы доказать, что оно будет определять плоскость V, Z и D.

Доказательство 1 части:

1. Так как значения чисел A, V и Z не будут равны нулю одновременно, значит есть определенная точка, координаты которой будут соответствовать исходному уравнению, то есть выдавать верное равенство. 
2. Далее вычитаем правую и левую части полученного уравнения из данного уравнения. Получается уравнение, которое будет эквивалентно исходному.  
3. Далее необходимо будет доказать, что полученное уравнение будет определять именно плоскость в данной системе координат 3-мерного пространства и найти общее уравнение.

Главным условием для перпендикулярности 2 векторов является их равенство. То есть, когда координаты удовлетворяют уравнению, то векторы будут перпендикулярны и наоборот. При верном равенстве набор точек будет обуславливать плоскость, проходящую через эту точку.

Полученное уравнение будет определять плоскость, расположенную в 3-мерном пространстве. Также оно будет полностью соответствовать для общего уравнения плоскости, которая проходит через три точки.

Из сказанного следует, что любое уравнение, эквивалентное исходному, будет определять одну и ту же плоскость. Мы доказали 1 часть теоремы.

Доказательство 2 части теоремы:

Когда имеем плоскость, проходящую через точку, вектор которой нормален, мы можем доказать, что в прям-ной координатной системе Oxyz ее задают с помощью данного основного уравнения.

Если взять любую точку данной системы координат, то векторы будут перпендикулярны, а произведение будет равно нулю.

 После принятия данного понятия, уравнение снова изменится и будет определять нашу плоскость.

Вывод: если уравнения эквивалентны, то они определяют одинаковую плоскость. Мы доказали теорему.

Данный обзор будет полезен при решении математических задач, а также в аналитической геометрии.

Общее уравнение плоскости в линейных сечениях и ее вид

Принятое общее уравнение, обычно имеет следующий вид: A x+B y+C z+D= Ax+By+Cz+D = 0.

Оно в основном используется только для 3-мерного пространства и прям-ной координатной системы.

Если задано общее уравнение, и имеется действительное число, неравное нулю. Оно может задать определенную плоскость, совпадающую с исходной, определяемой уравнением выше и определит точки трехмерного пространства.

Допускаем, что исходная прямоугольная координатная система задается в 3-мерном пространстве Oxyz.

Значит уравнение с действительными ненулевыми данными a, b и C — это уравнение плоскости на отрезки. Эти абсолютные значения a, b и C будут равны длине отрезков, которые ограничены исходной плоскостью.

Обозначения a, б и C будут демонстрировать направление линейных сегментов относительно осей координат. Поэтому координаты точек будут удовлетворять формуле общего уравнения.

В этой координатной системе, плоскость и уравнение полностью связаны между собой, при том условии, что плоскость соответствует основному уравнению, приведенному выше.

Рассмотрим пример, соответствующий данному утверждению.

Пример:

1. Если задана плоскость в 3-мерном пространстве и она отвечает уравнению 4x+5y–5z+20= 4x+5y–5 z+ 0 = 0, то это является описанием множества точек, изображающих данную плоскость.
2. Если точка находится на исходной плоскости, то можно поставить координаты этой точки в уравнение и получить абсолютное равенство.

Прямые в пространстве

Рассмотрим признаки параллельности прямых относительно заданной плоскости в пространстве:

• Если 2 прямые линии в исходном пространстве параллельны, то они будут лежать в одной плоскости, поэтому пересекаться не могут.
• Когда 2 линии пересекаются в пространстве, значит они не принадлежат к одной плоскости.
• Когда прямая линия лежит на заданной плоскости, а другая пересекает данную плоскость в определенной точке, значит они будут пересекаться. 
• Прямые параллельны, если они не имеют общих точек соприкосновения.
• Когда прямая не лежит на исходной плоскости, но параллельна относительно прямой, лежащей на этой плоскости, то они полностью параллельны. 

Отличительные черты плоскости

Существует несколько отличительных качеств плоскости и ее параллельных линий:

•  Когда имеет линию (прямую) и она параллельна относительно другой, и пересекает ее, то полученная линия пересечения будет параллельна к исходной прямой.
• Если две пересекающиеся, проходят через параллельные прямые, то полученная линия пересечения будет также параллельна прямым.  
• Когда две плоскости параллельны, то у них нет точек для соприкосновения. 
• Когда две прямые пересечены в одной плоскости, но параллельны относительно 2 прямых линий из другой, значит эти плоскости также параллельны. 
• Если прямая перпендикулярна относительно заданной плоскости, то она будет перпендикулярна относительно любой линии на плоскости.
• Когда прямая перпендикулярна относительно 2-х пересекающихся прямых линий, которые лежат на плоскости, то она будет перпендикулярна к первой плоскости. 

Рассмотрим еще несколько свойств перпендикулярных к плоскости линий:

• Если прямая перпендикулярна относительно 1 из двух параллельно расположенных плоскостей, то она перпендикулярна и второй плоскости.
• Когда 1 из двух параллельных перпендикулярна данной плоскости, другая прямая также расположена перпендикулярна к исходной плоскости.
• Любая из прямых, пересекающих плоскость, когда она не является перпендикуляром, будет наклонной относительно заданной плоскости. 
• Когда любая плоскость перпендикулярна относительно прямой, значит она будет перпендикулярна и другой прямой.

 Теорема о трех перпендикулярах на плоскости

Чтобы прямая линия, которая лежит в данной плоскости, была к ней перпендикулярна, вполне достаточно, чтобы она была перпендикулярна к проекции данной плоскости.

Любой угол между линией и плоскостью — это угол между линией и ее выступом на плоскости. Когда прямая b наклонна к исходной плоскости, то прямая а будет проекцией этой наклонной, а угол α будет находиться между наклонной и заданной плоскостью.

Любая прямая, которая получена при пересечении 2 плоскостей, будет называться ребром двугранного угла. Полуплоскости с одним общим ребром называют треугольными угловыми гранями.

Если граница полуплоскости совпадает с краем двугранного угла и делит двугранный угол на два равных, то ее называют биссектрисой.

Угол с двойными стенками можно измерять соответствующим линейным углом. Линейный угол для любого двугранного угла является углом между перпендикулярами, проведенными к каждой грани, и ее краем.

Изображение плоскости

В повседневной жизни многие предметы имеют прямоугольную форму, их поверхность имеет геометрическую плоскость.

Это книжный переплет, оконное стекло, поверхность стола и пр. Более того, глядя на эти предметы под углом и с большого расстояния, мы думаем, что они имеют форму параллелограмма. Поэтому плоскость на рисунке принято изображать в виде параллелограмма

Обычно эта плоскость обозначается одной буквой, например: «плоскость М».

Плоскость и ее основные свойства

Рассмотрим свойства плоскости, которые обычно принимаются без доказательств, поскольку это аксиомы:

1. Когда каждые 2 точки, которые лежат на одной прямой, принадлежат к единой плоскости, то все точки, находящиеся на этой прямой, также будут принадлежать к данной плоскости.
2. Если 2 плоскости соприкасаются в одной точке, значит они будут пересекаться на прямой линии, проходящей через эту точку.
3. Для любых 3 точек, не принадлежащих одной прямой, можно нарисовать плоскость, причем только одну.

Последствия этих аксиом следующие:

1. Можно нарисовать плоскость, имеющую прямую линию и точку за ней. Действительно утверждение, что точка вне прямой линии вместе с любыми двумя точками, лежащими на прямой, буду образовывать три точки, через которые может пройти новая плоскость.
2. Через две пересекающиеся линии можно провести единственную плоскость. Если взять точку пересечения и еще одну точку на прямой, то получим 3 точки, через которые можно будет провести единственную плоскость.
3. Только одну плоскость можно нарисовать двумя параллельными линиями. Доказано, что две параллельные прямые по определению лежат в одной плоскости. Эта плоскость уникальна, потому что не более одной плоскости можно провести через одну параллельную плоскость и одну точку в другую.
4. Вращение плоскости по прямой. Поэтому можно провести бесчисленное количество плоскостей через любую линию в пространстве.

Доказательство:

• Действительно, пусть это будет прямая линия.
• Возьмите отдельно точку А.
• Через А и данную прямую а проходит плоскость М.
• Возьмем точку B, лежащую вне данной плоскости М.
• Через данную точку В и прямую линию также будет проходить плоскость N, которая может не совпадать с М. Это связано с тем, что она имеет точку B и она не принадлежит к М плоскости.
• Мы можем взять другую точку С в пространстве за плоскости М и N.
• Через точку С и прямой пройдет новая плоскость, например Р. Она не совпадет с М, ни с N, потому что содержит точку С, которая не принадлежит плоскости М и плоскости N.

Продолжая занимать все новые и новые точки в пространстве, мы получаем все больше и больше плоскостей. Они все будут пересекать исходную линию.

Их может быть бесчисленное число. Все полученные плоскости можно рассматривать как различные повороты одной исходной плоскости, которая может будет вращаться вокруг прямой А.

Таким образом, мы можем найти еще одно качество плоскости, которая может вращаться вокруг прямой, принадлежащей к ней.

Строительные задания в пространстве

Все планиметрические конструкции выполнены с помощью чертежных инструментов с использованием единой плоскости. Обычные инструменты рисования больше не подходят, так как вы не можете рисовать символы в пространстве.

Кроме того, при объемном строительстве в пространстве, появляется необходимость в построении еще одного нового элемента — новой плоскости. Ее невозможно построить в пространстве такими простыми средствами.

Поэтому при строительстве в пространстве, строителям необходимо точно знать, как лучше построить ту или иную конструкцию.

Во всех конструкциях в пространстве мы можем предполагать следующие качества:

1. Плоскость можно выстроить, если найдены элементы, точно определяющие ее положение в исходном пространстве. Мы можем построить плоскость, если она будет проходить через 3 заданные точки, через прямую линию и наружную точку. А также иметь 2 пересекающиеся или две параллельные прямые.
2. При условии, что даны 2 пересекающиеся плоскости, то обязательно будет существовать и линия их пересечения, которую можно легко найти.
3. Если дана плоскость в пространстве, то можно легко сделать любые планиметрические конструкции.

Создание любой конструкции в пространстве означает сокращение ее до конечного числа указанных базовых структур. Эти базовые знания можно использовать для решения более сложных задач.

Именно так решаются задачи построения стереометрии.

Пример задания на построение в пространстве

Задача.

Нужно обнаружить точку, где будут пересекаться заданная прямая А с плоскостью Р. Затем необходимо составить нужное уравнение для прямой, проходящей через заданные точки: А (1; 2) и B (-1; 1).

Решение:

1. подставляем в уравнение (8) х 1 = 1, y 1 = 2, х 2 = -1; y 2 = 1;
2. получаем либо 2y-4 = х-1, либо х-2y + 3 = 0.

Каноническое уравнение прямой

Пусть декартова система координат будет установлена на плоскости Оху.

Задача: получить простое уравнение и если она является точкой прямой и и вектор кода прямой И.

1. Возьмем любую точку А на плоскости Р.
2. Через данную точку А и исходную прямую а проведем простую плоскость Q. Она будет пересекать плоскость Р вдоль новой прямой b.
3. В плоскости Q находим точку С — пересечение прямых линии а и b.
4. Эта точка будет желательной. Если прямые а и b окажутся параллельными, то у проблемы не будет решения.

Рассмотрим уравнение прямой, которая является линией пересечения двух плоскостей:

1. Бесчисленные плоскости проходят через каждую прямую в пространстве.
2. Любые два из них, пересекающиеся, определяют его в пространстве.
3. Это значит, что уравнения для 2 плоскостей, вместе взятые, представят собой уравнение для прямой.

Вывод:

 Любые 2 непар-ные плоскости, когда они заданы единым уравнением, можно определить по линии их взаимного пересечения. Эти уравнения именуют общими простыми уравнениями.

Рассмотрим уравнение прямой линии, проходящей через две точки:

1. Заданы точки А (1х; 1у) и B (2х; 2у).
2. Уравнение для прямой, проходящей через точки А (1х; 1у) и B (2х; 2у), когда они лежат на прямой, параллельной оси О х (y 2 -y 1 = 0) или оси О y (2х -1х = 0), то уравнение будет иметь вид: y = 1у или х = 1х.

Пусть будет плавающая точка, принадлежащая прямой А. Тогда получаем направляющий вектор для прямой А, он будет иметь идентичные координаты. Набор всех точек на данной плоскости определит прямую, проходящую через точку и имеющую вектор направления, при условии, что векторы коллинеарны.

 Каноническое уравнение для прямой, лежащей на плоскости, можно задать в прям-ной системе к-т Оху, как прямую, проходящую через точку и имеющую свой вектор направления.

Пример канонического уравнения  

Если уравнение является каноническим для прямой, то она должна соответствовать этому уравнению и будет проходит через точку, которая является ее вектором направления.

Нужно обратить внимание на следующие важные факты:

1. Если направляющий вектор — это прямая линия, которая проходит через точку, то ее каноническое ур-ние можно составить.
2. Когда один вектор является направляющим для прямой, то каждый из векторов также будет направляющим для заданной прямой.
3. Поэтому каждое уравнение для любой другой прямой в канонической форме будет соответствовать заданной прямой.

Параметрические уравнения для прямой линии

Данная система уравнений — это параметрические уравнения для прямой линии:

• даны координаты каждой фиксированной точки данной прямой;
• получены соответствующие координаты любого вектора направления данной прямой, где Т — параметр.

Доказательство:

Согласно определению уравнения для любого набора точек в координатном пространстве, мы должны доказать, что уравнению удовлетворяют все точки прямой L, а с другой стороны, координаты для точки, которая не принадлежит прямой невозможно вычислить.

Пусть дана любая точка. Тогда векторы и коллинеарны по определению, и теорема коллинеарности для двух векторов показывает, что один из них выражается линейно относительно другого, т.е. такое число существует.

Равенство векторов и влечет равенство их координат:

Тогда, согласно теореме коллинеарности для векторов, ни один из них не может быть выражен линейно относительно другого. По крайней мере одно из уравнений не выполняется. Таким образом, данные уравнения полностью удовлетворяют координатам для тех точек, которые принадлежат прямой L. Утверждение доказано.

Нормальное уравнение для плоскостей

Векторное уравнение для любой плоскости будет иметь следующий вид:

Если вектор к плоскости представлен единицей, то уравнение можно записать, как уравнение нормальной плоскости:

• расстояние до плоскости будет измеряться косинусом направления;
• углы между плоскостью и осями координат будут соответственны.

Общее уравнение плоскости можно привести к нормальному виду умножением на нормирующий коэффициент, знак перед дробью противоположен знаку точки пересечения в точке В.

Расстояние от плоскости до точки определяется формулой, полученной путем подстановки точки в нормальное уравнение.

Рассмотрим общее уравнение для плоскости

В 3-мерном пространстве с учетом прямоугольной системы ко-нат Oxyz уравнение плоскости будет иметь три неизвестных: х, уеs и z. Эти точки будут соответствовать координатам всех точек данной плоскости, но не будут удовлетворять координатам для других точек.

Подставляя координаты точки на плоскости в уравнение, получаем абсолютную идентичность. А используя координаты другой точки для заданного уравнения плоскости, получим неверное равенство.

Прежде чем записывать общее уравнение плоскости, вспомните определение для прямой, которая перпендикулярна плоскости.

Любая из прямых, которая будет перпендикулярна исходной плоскости, будет перпендикулярна любой прямой, лежащей на данной плоскости.

Из этого утверждения следует, что каждый нормальный вектор плоскости расположен перпендикулярно к любому ненулевому вектору, лежащему на данной плоскости. Этот факт часто используют при доказательстве теоремы, определяющей вид общего уравнения плоскости.

Используя формулы плоскости, приведенные в данной статье, можно не только решать сложные геометрические задачи, но и создавать различные архитектурные или строительные конструкции.