Приведение дроби к наименьшему общему знаменателю

Основное определение понятия общего знаменателя

Иными словами, можно сказать, что общим знаменателем дроби, будет характеризоваться натуральное простое числовое значение. Оно должно делиться без остатка на все значения знаменателей данных дробей.

Натуральные числа имеют свойство бесконечности и поэтому ряд обыкновенных дробных значений имеет характерное множество общих значений знаменателя.  Чтобы определить общий знаменатель для дроби, нужно применить его основное определение.

Рассмотрим два значения дробных выражений: ¹/₆ и ³/₅

Общим дробным знаменателем будет являться любое число с положительным значением. Оно должно быть кратным значениям 6 и 5.

Перечислим подходящие значения: 30,35,65,95,125,155,185,215 и так далее.

Пример решения задачи данного типа: Зададим для решения три дробных значения: ¹/₃ ²¹/₆ ⁵/₁₂.

Их необходимо проанализировать и привести к общему знаменателю, который равняется 150.

Для этого нужно выяснить, делится ли 150 на все числовые знаменатели дроби и является для них кратным числом.

Это значит, что 150 должно без остаточного значения делиться на 3,6,12.

Составляем выражения и проводим вычисления: 150/3=50; 150/6=25; 150/12=12,5.

При делении на 12 получается остаточное значение.

Из этого следует, что число 150 не будет являтся общим кратным знаменателем, для заданных дробей.

Наименьший общий знаменатель дробей

Данное определение звучит следующим образом: минимальное значение числа, на которое можно разделить знаменатель дроби, обязательно без остаточного значения.

Аббревиатура данного значения, выглядит как НОК.

В определенном перечне числовых значений, которые являются общими знаменателями данных дробей, будет иметь место наименьшее простое значение. Оно будет характеризоваться, как наименьший общий знаменатель. Сформулируем определение наименьшего общего знаменателя данных дробей.

Как правильно определить наименьший общий знаменатель числа дроби?

Так как НОК, будет иметь значение наименьшего положительного общего делителя данного набора чисел. Тогда НОК знаменателей любых дробей, представлен, как минимальный общий знаменатель дроби.

Из этого следует, что определение наименьшего знаменателя дроби, будет сводиться к определению НОК знаменателя дроби.

Рассмотрим данное правило на примере решения.

Пример:

Задано два значения дроби: ³/₁₀ и ²⁷⁷/₂₈ 

Знаменатели дробей равняются 10 и 28 соответственно.

Наименьший знаменатель будет определяться как НОК чисел 10 и 28.

Разложим числа на простые множители: 10=2*5, 28=2*2*7, следовательно, НОК (15 и 28)=2*2*5*7=140.

Ответ задачи: 140.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Когда простые обыкновенные дроби, имеют одинаковые по значению знаменатели, то это характеризуется как дроби приведены к общему знаменателю.

Например: значения ⁴⁵/₇₆ и ¹⁴³/₇₆  приведены к общему знаменателю, числу 76. Рассмотрим еще несколько дробей. Рассмотрим еще несколько дробей ¹/₃, ³/₃, ¹⁷/₃ и ¹⁰⁰⁰/₃.

Все эти значения приведены к общему знаменателю 3.

В случае, если знаменатели дробных чисел, являются разными по значениям и не равны друг другу. Можно их привести к общему числовому знаменателю. Для этого значение числителя и знаменателя данных значений перемножим с дополнительным множителем.

Например: ²/₅ и ⁷/₄ — эти дроби имеют разные знаменатели, поэтому воспользуемся приведение к общему знаменателю, при помощи дополнительных множителей, а именно 4 и 5.

Применяя данные значения приведем и вычисления и получим общий множитель: значение равное 20. При перемножении числителя и знаменателя дроби  ²/₅ на значение равное 4, получим дробь вида ⁸/₂₀. Проводим аналогичные действия, но только с дробью При перемножении числителя и знаменателя дроби  ⁷/₄ на 5 и приведем ее к дроби вида ³⁵/₂₀ .

Теперь можно сформулировать определение, приведение дробей к общему знаменателю.

Приведение дробей к знаменателю одинаковых значений – это вычислительный процесс, который включает в себя: умножение числителей и знаменателей любых значений дробей на определенные значения дополнительных множителей, чтобы результаты проведенных вычислений получились дроби с одинаковыми знаменателями.

В математике существует правило, которое помогает привести дроби к общему наименьшему знаменателю.

Данное правило включает в себя три основных пункта.

Принцип приведения дробного значения к наименьшему общему знаменателю:

• Для начала определяется значение наименьшего общего знаменателя дробей.
• Затем для каждой дроби определяется дополнительный множитель. Он должен соответствовать правилу: деление наименьшего общего знаменателя на знаменатель, каждой рассматриваемой при решении, дроби.
• Перемножаем числитель и знаменатель на принятый дополнительный множитель.

Примеры решения задач, используя приведение к наименьшему знаменателю.

Пример №1:

Нужно привести к наименьшему знаменателю следующие дроби: ⁵/₁₄ и ⁷/₁₈

Для решения применим алгоритм решения, рассмотренный в вышеприведенном пункте.

Для начала определим наименьшее значение общего знаменателя, который равен минимальному и кратному числу 14 и 18.

Разложим значения знаменателей на множители: 14=2*7, 18=2*3*3, следовательно, значение НОК будет равно 2*3*3*7=126. Следующим шагом, будет вычисление дополнительных множителей. С их помощью приведем дробные значения ⁵/₁₄ и ⁷/₁₈ будут приведены к числу 126. Дробному значению ⁵/₁₄ дополнительный множитель будет равняться 126/14=9. Для значения второй дроби равной ⁷/₁₈ аналогичный множитель будет равняться 129/18=7.

Числители и знаменатели дробей перемножаем на дополнительный множитель 9 и 7 соответственно.

Записываем следующие выражения:

Итоги проведенных вычислений: заданные дроби ⁵/₁₄ и ⁷/₁₈ приведены к общему знаменателю. Итоговое значение выражения: ⁴⁵/₂₆ и ⁴⁹/₁₂₆.

Пример №2:

Нужно привести к наименьшему знаменателю следующие дроби: ³/₁₂ и ⁵/₁₈. В этом примере, также применим алгоритм решения, состоящий из трех главным действий.

Используя алгоритм решения, определим наименьшее значение общего знаменателя, который равен самому минимальному значению и кратному числам 12 и 18.

Следующим шагом, разлом данные значения на множители: 12=2*6, 18=2*3*3, следовательно, значение НОК будет равно 2*3*3*7=216. Произведем вычисление дополнительных множителей. С их помощью приведем дробные значения ³/₁₂ и ⁵/₁₈ будут приведены к числу 216. Дробному значению ³/₁₂ дополнительный множитель будет равняться 216/12=18. Для значения второй дроби равной ⁷/₁₈ , аналогичный множитель будет равняться 216/18=12.

Данные значений дробей, нужно перемножить на дополнительный числовой множитель равный числам 9 и 7 соответственно. Подставим эти данные и вычислим составленные выражения.

Записываем следующие выражения:

Итоги проведенных вычислений: заданные дроби ⁵/₁₄ и ⁷/₁₈ не приведены к общему знаменателю. Окончательное  значение выражения ²⁷/₁₀₈ и ³⁵/₁₂₆ и из этого следует, что знаменатели разные.

Ответ: значение 216 не будет являться наименьшим общим знаменателем.

Аналогичным способом, используя алгоритм решения можно определить значение наименьшего знаменателя трех и более дробных значений.