Возведение в дробную степень
Из статьи вы узнаете, как возвести число в дробную степень, что для этого нужно понимать и уметь. Приведены поучительные примеры с дробными степенями.
Как возводить в дробную степень
Как возвести число в натуральную степень, легко усваивают почти все учащиеся. Достаточно помножить его само на себя столько раз, сколько указано в показателе степени. Например, запись 23 означает, что число 2 нужно умножить само на себя три раза, а запись (1,4)5 значит (1,4)5=1,4*1,4*1,4*1,4*1,4.
А вот запись типа 35/6 для многих совершенно не понятна. Возникает конфликт восприятия ранее усвоенного понимания возведения числа в степень со здравым смыслом, ведь написать число помноженным само на себя 5/6 раз, просто невозможно.
Подобный вопрос возникает у тех, кто не усвоил тему извлечения из чисел корня.
Напомним, что извлечение корня из числа, это математическая операция обратная операции возведения его в степень. Она подразумевает разложение его на одинаковые множители, число которых равно показателю корня. В частности, 3√8 равно 2, ведь, как видно из приведённого ранее примера 23 = 2*2*2 = 8.
Некоторые, при изучении извлечения корня из числа упускают один факт. Корень записывается не только в виде q√a (где a некоторое число, а q – показатель корня) он может быть записан и в виде a1/q. Надеюсь, теперь смысл дробной степени вам становится ясен. q в знаменателе дроби, это и есть корень. В числителе стоит та степень, в которую указанное число нужно возвести. В данном случае она равна одному (p=1). Если бы она была равна двум (p=2), то следовало бы записать a1/q *a1/q. Эта запись равносильна a2/q. Если бы она равнялась трём (p=3), т. е. 3/q √a, то вышло бы a1/q*a1/q*a1/q.
Теперь обобщим всё выше сказанное.
ap/q = q√ap. При этом a ≥ 0, p>0 и q>1.
Если в дробную степень требуется возвести неправильную либо десятичную дробь, сначала они приводятся к виду обычной дроби, чтобы ясно стали видны числитель и знаменатель, т. е. показатели корня и степени.
О свойствах дробных степеней
Приведём самые главные свойства дробных степеней, которые чаще всего приходится использовать в вычислениях.
- \[a^{p}* a^{q}=a^{p+q}\]
- \[a^{p} / a^{q}=a^{p-q}\]
- \[\left(a^{p}\right)^{q}=a^{p^{*} q}\]
- \[\left(a^{*} b\right)^{p}=a^{p} b^{p}\]
- \[(a / b)^{p}=a^{p} / b^{p}\]
Из свойства 3 следует, что \[\left(a^{p / q}\right)^{b}=a^{\left(p^{*} b\right) / q}\]
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Примеры возведения в дробную степень
\[81^{1 / 4}=\sqrt[4]{81}=3\]
\[135^{9 / 10}={ }^{10} \sqrt{135^{9}}\]. Извлекать корень и возводить в степень не имеет смысла т. к. число
получится очень сложным, а указанная запись наиболее простая.
\[\left.[1(3 / 5)]^{1 / 3}=(8 / 5)^{1 / 3}={ }^{3} \sqrt{(8 / 5)^{1}}={ }^{3} \sqrt{(} 2^{3} / 5\right)=2 /
\sqrt{5} 3\]. Здесь, для упрощения выражения, мы выполнили действие вынесения из-под знака корня числа 2.
Зачем нужны числа в дробной степени
Решение дробных степеней проще, чем вычисление корней. Оно занимает меньше шагов и, при наличии определённого навыка и меньше усилий. Так считают все, кто занимается математикой.
Выполнение любых работ по математике
Популярные статьи
Примеры решения матриц с ответами
Общее уравнение плоскости
Метод Крамера – теорема, примеры решений
Нахождение площади фигуры ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)