Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей
Статья посвящена изучению вопросов геометрии по теме параллельность плоскостей. Будет изложено определение плоскостей, параллельных между собой, рассказано о признаках и достаточных условиях параллельности, описание теории на наглядных практических примерах и изображениях.
Основная информация о параллельных плоскостях
Плоскости именуются параллельными при отсутствии общих точек. Для обозначения параллельности используют такой знак: ∥. В случае двух заданных плоскостей: α и β, которые параллельны друг другу, их обозначение будет изображено таким образом: α ∥ β.
На чертежах принято иллюстрировать параллельные плоскости в виде двух равных параллелограммах, которые имеют смещение сравнительно друг друга.
На словах параллельность обозначают таким образом: две плоскости α и β являются параллельными, а плоскость α будет параллельной плоскости β или, наоборот, плоскость β является параллельной плоскости α.
Признак и условие параллельности плоскостей
При процессе решения задач по геометрии часто появляется вопрос: являются ли заданные плоскости параллельными друг другу? Чтобы ответить на данный вопрос применяют признак параллельности, он в это же время означает достаточное условие параллельности двух плоскостей.
В форме теоремы звучит так: когда две пересекающиеся прямые плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости, тогда плоскости параллельны между собой. Доказательство теоремы можно найти в учебниках по геометрии 10 и 11 класса.
Также в практическом процессе чтобы доказать параллельность используют две такие теоремы:
- Первая звучит так: когда одна данная параллельная плоскость является параллельной третьей, то другая считается либо параллельной этой, либо соответствует ей;
- Вторая объясняется таким образом: когда две плоскости не совпадают и перпендикулярны какой-либо прямой, то они обозначаются параллельными.
Факт доказывающий параллельность двух разных плоскостей строится на основании озвученных теорем и признака параллельности.
Для лучшего понимания можно рассмотреть подробно достаточное и необходимое условия параллельности плоскости α и плоскости β, которые заданы в прямоугольной системе координат трёхмерного пространства.
Предположим, что в прямоугольной системе координат была задана плоскость α с общим уравнением A1x+B1y+C1z+D1=0, также есть плоскость β с общим уравнением A2x+B2y+C2z+D2=0. Для того, чтобы это доказать необходима теорема: для определения параллельности плоскости α и плоскости β нужно, чтобы линейные уравнения A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 не обладали решениями, то есть считались несовместными. Доказательство таково:
Допустим, что плоскости, которые определяются A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0 параллельные, а значит не обладают общими точками параллельных плоскостей. И ни одна координата точек не отвечает одновременно двум условиям заданных уравнений плоскостей, то есть решение отсутствует. Из этого следует, что также ни одна точка не отвечает условиям уравнений системы. Исходя из сказанного: плоскости, которые заданы уравнениями не обладают общими точками, то есть являются параллельными.
Теорема о необходимом и достаточном условии параллельности плоскостей
Несовпадающие плоскости параллельны между собой, когда нормальные векторы двух плоскостей считаются коллинеарными. Доказательство сформировано на основе определения нормальных векторов плоскости:
Предположим n1→=(A1, B1, C1) и n2→=(A2, B2, C2) – это нормальные векторы α и β. Условие коллинеарности заданных векторов таково: n1→=t·n2⇀⇔A1=t·A2B1=t·B2C1=t·C2, t – действительное число.
Из вышесказанного следует, что несовпадающие α и β с данными векторами являются параллельными, если существует действительное t с верным равенством: n1→=t·n2⇀⇔A1=t·A2B1=t·B2C1=t·C2.
Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей
Условие параллельности плоскостей в пространстве характеризуется так: плоскости параллельны между собой, когда нормальные векторы также параллельны. При этом, две плоскости являются параллельными, если коэффициенты пропорциональны при сопутствующих координатах.
Условие перпендикулярности звучит так: две плоскости являются перпендикулярными, когда нормальные векторы также перпендикулярны.
Подробнее на практическом примере:
Необходимо создать уравнение плоскости, которая проходит через точку M(-2; 1; 4) лежащая параллельно такой плоскости 3x+2y-7z+8=0.
Поиск уравнения будет проходить в форме Ax+By+Cz+D=0. Следуя условию параллельности известно следующее: \[\frac{A}{3}=\frac{B}{2}=\frac{C}{-7}\]. Из этого предполагается, что A=3, B=2, C=-7. Вследствие чего уравнение принимает форму x+2y-7z+D=0. Помимо этого, точка M α, то-6+2-28+D=0, D=32. В итоге составленное уравнение выглядит так 3x+2y-7z+32=0.
Еще одно условие параллельности прямой и плоскости в пространстве. Прямая и плоскость будут параллельны, когда нормальный вектор плоскости и вектор направляющий прямой будут перпендикулярны, при этом скалярное произведение должно равняться нулю.
Сечение параллельных плоскостей
В геометрии чтобы построить сечение любой пространственной фигуры нужно учитывать теоремы и определения плоскостей и их свойства. Основные определения, которые помогут в построении:
- Две прямые пересекаются и параллельны, если невозможно прочертить плоскость;
- Плоскость и прямая являются параллельными при отсутствии общих точек;
- Прямые называются перпендикулярными при условии, что образующийся между ними угол равен 90°;
- Прямая именуется перпендикулярной заданной плоскости, когда она перпендикулярна другой прямой, которая лежит в этой же плоскости.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Параллельные плоскости призмы
Фигура призма – многогранник, который состоит из плоских многоугольников, совмещённые параллельным переносом и отрезками, которые соединяют точки данных многоугольников. То есть грани призмы – равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, другие грани являются параллелограммами.
Многоугольники, которые лежат в плоскостях параллельных друг другу именуются основаниями, а отрезки, соединяющие вершины – боковыми ребрами. То есть боковые ребра равны и параллельны между собой.
Выполнение любых работ по математике
Популярные статьи
Примеры решения матриц с ответами
Общее уравнение плоскости
Метод Крамера – теорема, примеры решений
Нахождение площади фигуры ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)