Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве

Представим некоторую прямую N и точку C, которая не принадлежит этой прямой. Опустим прямую из некоторой точки С к прямой N с пресечением под прямым углом в точке F. Получится отрезок CF, который будет называться наименьшим расстоянием от заданной точки C до рассматриваемой прямой N.

Расстояние от точки до прямой

Данное расстояние эквивалентно длине перпендикуляра, проложенного из рассматриваемой точки к заданной прямой.

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

На конкретных примерах нахождение расстояния между точкой и прямой заключается в вычислении высоты той или иной соответствующей фигуры – треугольника, а также параллелограмма или трапеции.

Например: из точки A опущены две наклонные линии к прямой a, отношение длин которых 2:3. Найти расстояние от точки до прямой, когда длина одной проекции равна 2 см, а второй 7 см.

Дано: A∉a

AB⊥a

Наклонные AC и AD, AC:AD=2:3

Проекции этих наклонных BC = 2см и BD = 7 см

Требуется найти: AB

Решение: Считаем k – коэффициент пропорциональности. При этом BC = 2k см и BD = 3k см.

Исследуем прямоугольный треугольник ABC.

В соответствии с теоремой Пифагора получается AC², = AC² -BC² откуда вычисляем:

Аналогично для треугольника ACB:

Найдём k, приравняв правые части полученных равенств решим уравнение:

k=3, найдём AB, зная k:

Ответ: ближайшее расстояние от точки до прямой:

Расстояние между двумя точками на прямой

Равняется длине отрезка, который в заданном масштабе соединяет эти точки. Задачу измерения расстояния между соседними точками на прямой в основном рассматривают на координатной прямой, на плоскости в прямоугольной координатной системе, в трёхмерном пространстве,

На координатной прямой расстояние между двумя точками соответствует модулю разности координат конкретных точек.

Если даны точка A(x) и точка B(y), то расстояние между ними d можно вычислить по формуле d=ꟾy-xꟾ. При этом, выражение ꟾy-xꟾ можно заменить выражением ꟾx-yꟾ, полученные значения будут противоположными и их модули равны.

Пример. Даны точки A(2) и B(-6), определить расстояние между точками по прямой.

Решение. Подставим в формулы наши значения, вместо x=2 и y=-6. Следовательно

AB=ꟾy-xꟾ=ꟾ-6-2ꟾ=ꟾ-8ꟾ=8

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 8.

Расстояние между точкой и прямой на плоскости

Это наименьшее расстояние от конкретной точки до прямой. Равняется длине перпендикулярного прямой отрезка, соединяющего заданную точку и прямую.

Проложим перпендикуляры на координатной оси из точек A и B. Сделаем анализ прямоугольного треугольника ABC. Имеющего катеты равные:

Для вычислений применим теорему Пифагора, определим длину отрезка AB

Формула для расчёта расстояния от точки до прямой на плоскости: подставим в формулу длины имеющихся отрезков AC и BC с координатами тачек A и B. Аналогично находим расстояние между двумя точками в пространстве.

Пример. Необходимо определить расстояние между точкой A(-1,3) и точкой B(6,2).

Решение:

Ответ: \[\mathrm{AB}=5 \sqrt{2}\]