Угол между двумя пересекающимися плоскостями

Дан один параллелепипед \[A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\].
Сторона \[A D=3, A B=2, A A_{1}=7\].
Точка E делит сторону \[АА_{1}\] в пропорции 4 : 3.
Задание: необходимо найти угол между плоскостями АВС и \[ВED_{1}\].
Решение:
Сначала сделаем чертеж исходного задания.

Теперь необходимо обозначить прямую линию пересечения двух плоскостей АВС и \[ВED_{1}\].
Точка B будет общей, далее необходимо найти еще одну точку пересечения.
Поскольку прямые DA и \[D_{1}E\] располагаются в плоскости \[ADD_{1}\] и не могут быть параллельны, значит они пересекаются.
Если прямая DA расположена в плоскости АВС, а \[D_{1}E\] в BED1, то прямые DA и D1E однозначно пересекаются в общей точке, которая лежит на обеих плоскостях. Обозначим эту точку буквой F.
На рисунке хорошо видно, что прямая BF является общей для двух исходных плоскостей.

Теперь постараемся найти угол между этими плоскостями:

1. Построим прямые в обеих плоскостях, проходящие через общую точку, лежащую на прямой BF и
   перпендикулярные ей.
2. Получился угол между плоскостями.
3. Точка А, лежащая на плоскости АВС, является проекцией точки Е.
4. Проводим перпендикулярную прямую к BF в точке М.
5. Теперь хорошо видно, что ЕМ является проекцией на плоскость АВС в АМ.
6. Применяем теорему о перпендикулярах AM ⊥ BF.

Искомым является ∠AME, который образован пересечением плоскостей АВС и \[ВED_{1}\]. Из полученного треугольника АЕМ находим тангенс, синус или косинус. Теперь, если известны стороны треугольника, можно вычислить угол между двумя пересекающимися плоскостями.
Для этого выполняем несколько дополнительных действий:
В условии задачи сказано, что АА₁ разделена точкой Е в пропорции 4 : 3. Это значит, что прямая имеет 7 частей, а отрезок АЕ равен 4 частям.

Чтобы определить АМ, нужно рассмотреть треугольник АВF, где угол A прямой, а АМ является его высотой.

Если АВ = 2, то длину AF можно вычислить по принципу подобия треугольников DD₁F и AEF:

\[\frac{A E}{D D 1}=\frac{A F}{D F} \Leftrightarrow \frac{A E}{D D 1}=\frac{A F}{D A+A F} \Rightarrow
\frac{4}{7}=\frac{A F}{3+A F} \Leftrightarrow A F=4\]
С помощью теоремы Пифагора находим длину BF в треугольнике ABF:
\[\mathrm{BF}=\sqrt{(}\left(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AF}^{2}\right)=\sqrt{\left(2^{2}+4^{2}\right)}=2
\sqrt{5}\]
Находим длину отрезка АМ через площадь треугольника ABF:
S треугольника \[\mathrm{ABC}=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AF}\] или S треугольника
\[\mathrm{ABC}=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{BF} \cdot AM\]. Тогда \[\mathrm{AM}=\frac{A B \cdot A F}{B
F}=\frac{2 \cdot 4}{2 \sqrt{5}}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}\].
Находим тангенс угла в треугольнике АЕМ:
\[\operatorname{tg} \angle \mathrm{AME}=\frac{A E}{A M}=\frac{4}{4 \sqrt{5}}: 5=\sqrt{5}\]
В итоге угол между пересекающимися плоскостями arc равен arctg√5. Или \[\operatorname{arctg} \sqrt{5}=\arcsin
\frac{\sqrt{30}}{6}=\arccos \frac{\sqrt{6}}{6}\].
Ответ: \[\operatorname{arctg} \sqrt{5}=\arccos \frac{\sqrt{6}}{6}\].

---

B единичном кубе \[A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\] найдите угол между плоскостями \[\left(A D_{1}
E\right)\] и \[\left(D_{1} F C\right)\], где точки E и F — середины ребер \[A_{1} B_{1}\] и \[B_{1} C_{1}\] соответственно.

Решение:
Введем прямоугольную систему координат и определим координаты точек:\[A(1 ; 0 ; 0), C(0 ;
1 ; 0), D_{1}(1 ; 1 ; 1), E\left(\frac{1}{2} ; 0 ; 1\right), F\left(0 ; \frac{1}{2} ; 1\right)\]
Составим уравнение плоскости \[\left(A D_{1} E\right)\]:
\[2 x-y+z-2=0\\\overrightarrow{n_{1}}\{2 ;-1 ;
1\}\] — нормальный вектор плоскости \[(AD_{1} E)\].
Составим уравнение плоскости \[\left(D_{1} F C\right)\]:
\[x-2 y-z+2=0\\\overrightarrow{n_{2}}\{1 ;-2
;-1\}\] — нормальный вектор плоскости \[(D_{1}FC)\].

---

Отрезок, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра,
равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды.

Решение: \[R O=\frac{1}{3}; C R=\frac{\sqrt{3}}{6}; E O=\frac{1}{2}\]
SO найдем из \[\triangle O S B\]:
\[\begin{aligned}&S B=2, \quad B O=\frac{\sqrt{3}}{3} \\&S O=\sqrt{S B^{2}-O B^{2}} \\&S
O=\sqrt{4-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \\&S\left(\frac{\sqrt{3}}{6} ; \frac{1}{2} ;
\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}\right)\end{aligned}\]