Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения

В этой статье мы рассмотрим концепцию уравнения прямой прямой. Мы попытаемся понять общее уравнение прямой, формулу прямой, способ нахождения уравнения прямой и откроем для себя другие интересные аспекты этого. Попробуйте свои силы в решении нескольких интересных примеров и вопросов для лучшего понимания концепции.

Для того чтобы освоить описанные приемы, необходимо много практиковаться, чтобы они стали привычными.

После прочтения информации по этой теме вы должны уметь:

• находить уравнение прямой, учитывая ее наклон и пересечение с осью y;
• находить уравнение прямой, учитывая ее наклон и одну точку, лежащую на ней;
• найти уравнение прямой, учитывая две точки, лежащие на ней;
• дать уравнение прямой в любой из форм y = mx + c или ax + by + c = 0

Уравнения прямых могут принимать различные формы в зависимости от фактов, которые мы знаем о прямых. Итак, для начала предположим, что у нас есть прямая линия содержащая точки из следующего списка.

На прямой есть еще много точек, но уже достаточно, чтобы увидеть закономерность. Если мы возьмем любое значение x и прибавим 2, мы получим соответствующее значение y: 0 + 2 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, и так далее. Между координатами x и y любой точки на прямой существует фиксированная зависимость, и уравнение y = x + 2 всегда верно для точек на прямой. Мы можем обозначить прямую, используя это уравнение.

Уравнение прямой, проходящей через начало координат с заданным коэффициентом

Предположим, что у нас есть прямая с уравнением y = x. Тогда для каждой точки на прямой координата y должна быть равна координате x. Таким образом, прямая будет содержать точки из следующего списка.

Мы можем найти коэффициент прямой, используя формулу для нахождения коэффициента:

Далее следует подставить первые два набора значений из таблицы. Получаем:

Таким образом, коэффициент этой прямой равен 1.

А как насчет уравнения y = 2x? Оно также представляет собой прямую линию, и для всех точек на y в два раза больше соответствующего значения x. Таким образом, линия будет содержать точки из следующем списке.

Если мы вычислим коэффициент прямой y = 2x, используя первые два набора значений в таблице, то получим:

Таким образом, коэффициент этой прямой равен 2.

Теперь возьмем уравнение y = 3x. Оно также представляет собой прямую линию, и для всех точек на прямой. Каждая точка y в три раза больше соответствующего значения x. Таким образом, линия будет содержать точки из следующего списка.

Если мы вычислим коэффициент прямой y = 3x, используя первые два набора значений в таблице, мы получим:

Следовательно, коэффициент этой прямой равен 3.

Мы можем начать видеть здесь закономерность. Все эти прямые имеют уравнения, где y равно некоторому числу, умноженному на x. И в каждом случае линия проходит через начало координат, а коэффициент прямой равен m.

Таким образом, если бы у нас была прямая с уравнением y = 13x, то мы бы указали, что коэффициент прямой будет равен 13. Аналогично, если бы у нас была прямая с уравнением y = -2x, то коэффициент будет равен -2. Таким образом, в общем случае уравнение y = mx представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат с коэффициентом m.

Пересечение прямой y

Рассмотрим прямую линию с уравнением y = 2x + 1. Это уравнение имеет несколько иную форму в отличие от тех, которые мы видели ранее. Чтобы нарисовать график прямой, мы должны вычислить некоторые значения.

Обратите внимание, что при x = 0 значение y равно 1. Значит, эта прямая пересекает ось y в точке y = 1.

А как насчет прямой y = 2x + 4? Мы снова можем вычислить некоторые значения.

Эта линия пересекает ось y в точке y = 4.

А как насчет прямой y = 2x — 1? Мы снова можем вычислить некоторые значения.

Эта линия пересекает ось y в точке y = — 1.

Общее уравнение прямой — y = mx + c, где m — коэффициент, а y = c — значение на оси у, при через которое проходим прямая.

Это число c является пересечением с осью y.

Иногда нам задают уравнение прямой в другой форме. Предположим, у нас есть уравнение 3y — 2x = 6. Как показать, что оно представляет собой прямую линию, и найти ее коэффициент и значение точки пересечения с осью y?

Мы можем использовать алгебраическую перестановку, чтобы получить уравнение в виде y = mx + c:

3y — 2x = 6,

3y = 2x + 6,

Теперь уравнение находится в стандартной форме, и мы видим, что коэффициент равен \[\frac{2}{3}\], а значение точки пересечения с осью y равно 2.

Мы также можем работать в обратном направлении. Предположим, мы знаем, что прямая имеет коэффициент \[\frac{1}{5}\] и имеет вертикальное пересечение в точке y = 1. Каким будет ее уравнение?

Чтобы найти уравнение, достаточно подставить нужные значения в общую формулу y = mx + c.

Здесь m равно \[\frac{1}{5}\], а c — 1, поэтому уравнение равно y  =\[\frac{1}{5}\]x + 1. Если мы хотим убрать дробь, мы можем также привести уравнение к виду 5y = x + 5, или 5y — x — 5 = 0.

Уравнение прямой с заданным коэффициентом, проходящее через заданную точку на оси у

Предположим, что мы хотим найти уравнение прямой с коэффициентом \[\frac{1}{3}\], которое проходит через точку (1, 2). Здесь, хотя мы знаем коэффициент, мы не знаем значение точки пересечения с осью у, оно равно c.

Начнем с общего уравнения прямой y = mx + c.

Мы знаем, что коэффициент равен \[\frac{1}{3}\], именно поэтому мы можем сразу подставить это значение на место m. Это дает: \[y=\frac{1}{3} x+c\]

Теперь мы используем тот факт, что прямая проходит через (1, 2). Это означает, что когда x = 1, y должно быть равна 2. Подставляя эти значения, находим:

так что

Таким образом, уравнение прямой имеет вид:

Мы можем вывести общую формулу для задач такого типа, используя тот же метод. Мы возьмем общую прямую с коэффициентом m, проходящую через фиксированную точку \[\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right)\].

Начнем с общего уравнения прямой y = mx + c. Теперь мы используем тот факт, что прямая проходит через точку \[\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right)\]. Это означает, что при x = \[x_{1}\],  y должно быть \[y_{1}\]. Подставляя эти значения, находим:

так что

Таким образом, уравнение прямой имеет вид y = mx + \[y_{1}-\mathrm{m} x_{1}\].

Мы можем записать его в альтернативной форме

Тогда это прямая с уклоном m, проходящая через точку \[\left(x_{1}, y_{1}\right)\]. Таким образом, эта общая форма полезна, если вы знаете коэффициент и одну точку на прямой.

Например, мы знаем, что прямая имеет коэффициент -2 и проходит через точку (-3, 2).

Мы можем воспользоваться формулой \[y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)\] и сразу подставить значения:

y — 2 = -2(x — (-3))

y — 2 = -2(x + 3)

y — 2 = -2x — 6

y = -2x — 4 .

---

Упражнение 1

Найдите уравнение описанных ниже прямых (приведите уравнение в виде y = mx + c):

(1) коэффициент 3, проходящей через (1, 4);

(2) коэффициент -2, проходящей через (2, 0);

(3) коэффициент \[\frac{2}{5}\], проходящий через (5, -1);

(4) коэффициент 0, проходящий через (-1, 2);

(5) коэффициент -1, проходящий через (1, -1).

Уравнение прямой проходящей через две заданные точки

Что нужно сделать, если мы хотим найти уравнение прямой, проходящей через две точки (-1, 2) и (2, 4)?

Здесь мы не знаем коэффициент прямой, поэтому кажется, что мы не можем использовать ни одну из формул, которые мы знаем на данный момент. Но мы знаем две точки на прямой, и поэтому можем использовать их для определения коэффициента.

Следует просто использовать формулу \[\mathrm{m}=\frac{\left(y_{2}-y_{1}\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)}\].

Получаем: \[m=\frac{4-2}{2-(-1)}=\frac{2}{3}\].

Таким образом, коэффициент прямой равен \[\frac{2}{3}\].

Нам известны две точки на прямой, поэтому мы можем использовать одну из них в формуле y — y1 = m(x — x1). Если мы возьмем точку (2, 4), то получим:

y — 4 = \[\frac{2}{3}\](x — 2)

3y — 12 = 2x — 4

3y = 2x + 8

\[y=\frac{2}{3} x+\frac{8}{3}\]

Как и в предыдущих случаях, будет полезно найти общую формулу, которую можно использовать для примеров такого рода.

Итак, предположим, что общая прямая проходит через две точки \[\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \text { и } \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)\]. Пусть общая точка на прямой будет P(x, y).

Теперь мы знаем, что коэффициент AP должен быть таким же, как коэффициент AB, так как все три точки лежат на одной прямой. Но коэффициент AP равен:

тогда как коэффициент AB равен:

Тогда mAP = mAB, поэтому мы имеем:

Эта формула довольно сложна, но ее легче запомнить, если все члены с участием y находятся на одной стороне, а все члены с участием x — на другой. Если мы будем преобразовывать эту формулу, сначала мы сможем получить:

а затем

Запомнить эту формулу вам поможет замечание, что закономерность в левой части, с участием y, такая же, как и с участием x в правой части.

Теперь мы можем использовать эту формулу для решения примеров. Предположим, что мы хотим найти уравнение прямой, проходящей через две точки (1, -2) и (-3, 0).

Попробуем подставить в формулу и решить:

-2y — 4 = x — 1

-2y = x + 3

Таким образом, прямая имеет коэффициент — \[\frac{1}{2}\], а значение и точку пересечения с осью \[y-\frac{1}{2}\].

Мы также можем преобразовать уравнение, чтобы получить 2y = -x — 3, или 2y + x + 3 = 0.

Упражнение 2

Найдите уравнение описанных ниже прямых (приведите уравнение в виде y = mx + c):

(1) проходящей через (4, 6) и (8, 26),

(2) проходящей через (1, 1) и (4, -8),

(3) проходящий через (3, 4) и (5, 4),

(4) проходящий через (0, 2) и (4, 0),

(5) проходящий через (-2, 3) и (2, -5).

Общее уравнение прямой

Существует еще одна форма уравнения прямой, которая иногда бывает необходима. Это уравнение: ax + by + c = 0 .

Мы уже писали уравнения в этой форме для некоторых наших примеров. Мы можем увидеть некоторые особые случаи этого уравнения, установив либо a, либо b равными нулю.

Если a = 0, то получаются прямые с общим уравнением by + c = 0, то есть y = \[-\frac{c}{b}\].

Эти прямые горизонтальны, то есть параллельны оси x.

Если b = 0, то получаются две прямые с общим уравнением ax + c = 0, следовательно есть x = \[\frac{c}{a}\].

Эти прямые вертикальны, то есть параллельны оси y. Уравнение вертикальной прямой не может быть записано в виде y = mx + c. Уравнение ax + by + c = 0 является наиболее общим уравнением для прямой и может использоваться там, где другие формы уравнения не подходят.

Упражнение 3

Найдите уравнение описанных ниже прямых (приведите уравнение в виде

ax + by + c = 0, где a, b и c — целые числа и a > 0):

(1) прямая из упражнения 2 (2)

(2) прямая в упражнении 2 (5)

(3) прямая в упражнении 3 (3)

(4) прямая в упражнении 4 (2)

(5) прямая в упражнении 4 (4)

(6) прямая в упражнении 4 (5)

(7)прямая , проходящая через (3, -2) и (3, 2)

(8) вертикальная прямая, проходящая через точку (0,  \[\frac{2}{3}\]).

---

Упражнение 1

(1) y = 3x + 1,

(2) y = -2x + 4,

(3) y =x — 3,

(4) y = 2,

(5) y = — x.

Упражнение 2

(1) y = 5x — 14,

(2) y = -3x + 4,

(3) y = 4,

(4) y = —x + 2,

(5) y = -2x — 1.

Упражнение 3

(1) 2x + y + 1 = 0,

(2) 3x + 4y — 2 = 0,

(3) 2x — 5y — 15 = 0,

(4) 3x + y — 4 = 0,

(5) x + 2y — 4 = 0,

(6) 2x + y + 1 = 0,

(7) x — 3 = 0,

(8) x = 0.