Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости
В данном материале рассмотрим, что такое уравнение прямой. Проанализируем каждый вид данного уравнения. Изучим основные формулы и графики. Применим весь рассмотренный материал на практике, в виде решения задач и уравнений.
Данное уравнение — характеризуется, как уравнение двух переменных значений.
Значения в математики, чаще всего обозначают буквами x и y. Это самое распространенное обозначение, однако можно встретить и другие буквенные обозначения. Например: z, n и другие значения.
Определение прямой линии- фигура, состоящая из множества простых точек. Каждая точка, имеет собственные, определенные координаты, относительно осей абсцисс и ординат.
Уравнение прямой на плоскости — уравнение, характеризующее взаимосвязь координатных значений точек на прямой.
Для решения уравнений необходимо помнить ряд важным математических функций, правил, значений.
Все их мы будем рассматривать подробно в каждом разделе на примерах решения.
Общее уравнение прямой линии системы координат
Рассмотрим соответствующую теорему, которая отражает уравнение прямой на плоскости в системе координат Oxy.
Подробно исследуем следующее уравнение: ax+by+c=0.
Значения х и y, являются переменными данными со значениями.
a и b — действительные простые числа. Обязательное условие, которых неравенство нулю.
Следовательно, прямая линия задается вышеупомянутым уравнением данного вида: ax+by+c=0.
Рассмотрим на примере изученную теорему:
На данном рисунке, мы рассмотрим красную линию и запишем уравнение для нее.
2x+3y-2=0.
Координаты на данной прямой удовлетворяют составленному уравнению.
Уравнение может быть также полным и неполным. Рассмотрим случаи:
- Полное уравнение.
Все действительные числа, имеют любое значение, но не равные нулю. Поэтому такое определение относится к данному типу уравнений.
- Неполное уравнение.
Все числа в уравнении имеют любое значение. Характерно, также значения отрицательных знаков.
Уравнение прямой в отрезках прямой
Для отрезков уравнение будет иметь следующей вид:
Данные в знаменателе, являются действительными значениями, не равными нулевому значению. Величины действительных данных равняются отрезку. Он отсоединяется линией на оси координат. Протяженность начинает свой отсчет от начала координатной прямой.
Пример:
Нужно начертить прямую линию, которая задается формулой.
Обозначим на графике две точки ( 3 ; 0 ) , (0; \[-\frac{5}{2}\]). Далее необходимо их соединить между собой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Записываем уравнение вида: \[\mathrm{y}=\mathrm{k} \cdot x+b\];
x — значение, которое принимается, как переменное;
к — простое действительное число, является показателем углового коэффициента;
b — действительное число.
Угол наклона на плоскости в системе координат — угол, который берет свой отсчет значений от направления с положительным знаком до прямой, которая направлена против хода часовой стрелки.
Угол будут считать нулевым, если прямая линии, имеют параллельное расположение относительно оси абсцисс либо совпадает с ней по расположению. Угол принимает значения, согласно интервалу (0, \[\pi\]).
\[\text { Формула обозначения коэффициента: } k=\operatorname{tg} \alpha .\]
Угловой коэффициент — значение тангенса угла наклона этой же прямой линии.
В случае, когда прямая линия параллельная другой оси, ординат, то принято считать, что угловой коэффициент не определяется. И соответствует интервалу бесконечности.
График функции будет возрастать, если значение коэффициента имеет положительное значение. Следовательно, убывание будет наблюдаться в противоположном значение, а именно с отрицательным значением.
На графиках показаны значения угловых коэффициентов и угол наклона. Когда есть разное расположение относительно осей.
На примерах рассмотрим нахождение углового коэффициента. Для этого из прошлых тем, вспомним определение тангенса и его вычисление.
Пример №1:
Угол наклона прямой равен 120 градусов, относительно оси ох.
Нам нужно определить угловой коэффициент.
Применим известные нам формулы и подставим данные.
Следовательно правильный ответ задачи будет равняться \[k=-\sqrt{3}\]
Пример №2:
В этом примере нам уже известно значение углового коэффициента.
Нужно определить угол наклона, относительно прямой. Для этого, нужно обязательно учитывать знак известного коэффициента. Если к>0, следует что угол будет острый и определяться как \[\alpha=\operatorname{arctg} k\].
Когда к<0, то угол будет характеризоваться как тупой. его значение определяется функцией: \[\alpha=\pi-\operatorname{arctg}|k|\].
Например, угловое значение равно 3.
Значение коэффициента является положительным, значит угол будет острый. Вычисляться он будет по формуле: \[\alpha=\operatorname{arctg} k=3\]
Ответ задачи: \[\operatorname{arctg}=3\].
Пример №3:
Значение углового коэффициента имеет отрицательное число в виде дроби. И равняется следующему значению: \[-\frac{1}{\sqrt{3}}\]
Для определения угла наклона, выполнить следующие действия: обозначим все значения. Угол наклона относительно оси имеет положительное значение. Следовательно формула для решения запишется следующим образом: \[\mathrm{k}=-\frac{1}{\sqrt{3}}<0 \Rightarrow \alpha=\pi-\operatorname{arctg}|k|\].
Подставим данные, которые заданы в условии задания:
\[\alpha=\pi-\operatorname{arctg}\left|-\frac{1}{\sqrt{3}}\right|=\pi-\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}}=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{6} \Rightarrow\]ответ будет \[\frac{5 \pi}{6}\].
Пример №4:
Необходимо определить, относятся ли точки координат к прямой. Они равны: \[m_{1}(3 ; 0) \text { и } m_{2}(2 ;-2)\]. Уравнение прямой задано следующее: \[y=\frac{1}{3} x-1\].
Известные нам значения точек подставляем, в заданное уравнение прямой.
И получаем следующий вид формулы: \[0=\frac{1}{3} \cdot 3-1 \Leftrightarrow 0=0\]. Так после вычисления, мы получаем равенство, которое считается верным. Можно утверждать, что точка принадлежит прямой.
Далее подставляем значения второй точки в уравнение.
\[-2=\frac{1}{3} \cdot 2-1 \Leftrightarrow-2=-\frac{1}{3}\] следовательно точка \[m_{2}\] не относится к прямой и не лежит на ней.
Вывод решения: только первая точка относится к прямой и лежит на ней, а вторая равная (2;-2) — нет.
Пример №5:
Нужно найти уравнение прямой, которая проходит через значение точки \[m_{1}(4 ; 1)\]. Значение углового коэффициента — (-2).
Запишем условие : \[x_{1}=4, y_{1}=-1, k=-2\]
Следовательно необходимое уравнение прямой равно: \[y-y_{1}=k\].
\[\left(x-x_{1}\right) \text { следовательно } y-(-1)=-2 \cdot(x-4) \Leftrightarrow y=-2 x+7\]
Искомое уравнение: \[y=-2 x+7\]
Пример №6:
Составить уравнение прямой, проходящей через значение (-2;4). Угол наклона положительного направления равен \[\frac{3 \pi}{4}\].
Решение необходимо начать с определения коэффициента угла.
\[k=\operatorname{tg} \alpha \frac{3 \pi}{4}=-1\]
Определив угловое значение, можно составить искомое уравнение вида: \[y-y_{1}=k \cdot\left(x-x_{1}\right) \text { из этого следует } y-4=-1 \cdot(x-(-2) \Leftrightarrow y=-x+2\]
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Определение канонического уравнения — это уравнение следующего вида \[\frac{x-x_{1}}{\alpha_{x}}=\frac{y-y_{1}}{\alpha_{y}}\].
Данное уравнение задает на плоскости в прямоугольной системе прямую линию. Она, в свою очередь проходит через точку \[m_{1}(x ; y)\], которая имеет вектор направления, обозначающийся как \[\underline{\alpha}=\left(\alpha_{x} ; a_{y}\right)\]
Запишем несколько примеров для данного вида уравнения.
\[\frac{x-2}{\sqrt{3}}=\frac{y-3}{1}\]
Приведенное уравнение — это уравнение прямой для канонического вида. Прямая его будет проходить через значения точек \[m_{1}(2 ; 3)\]. Вектор направляющий равен \[\sqrt{3}, 1\].
Важные моменты, которые следует помнить, при решении задач с каноническим уравнением.
Отметим следующие важные факты:
- если вектор является прямым и прямая линия проходит через точку, то ее уравнение имеет вид : \[\frac{x-x_{1}}{\alpha_{x}}=\frac{y-y_{1}}{\alpha_{y}}\]
- когда вектор прямой по направлению, то любой из векторов может быть направляющим вектором прямой. И уравнение записывается следующим образом: \[\frac{x-x_{1}}{\mu \cdot \alpha_{x}}=\frac{y-y_{1}}{\mu \cdot \alpha_{y}}\]
Пример №1:
Прямая в системе координат проходит через точки (2;-4) и вектор направляющий равен (1;-3). Составьте и напишите каноническое уравнение, применяя известные нам данные.
\[x_{1}=2, y_{1}=2, \alpha_{x}=1, \alpha_{y}=-3\]
Следовательно уравнение записывается следующим образом: \[\frac{x-x_{1}}{\alpha_{x}}=\frac{y-y_{1}}{\alpha_{y}} \Leftrightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y-(-4)}{-3} \Leftrightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y+4}{-3}\]
\[\frac{x-x_{1}}{\alpha_{x}}=\frac{y-y_{1}}{\alpha_{y}} \Leftrightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y-(-4)}{-3} \Leftrightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y+4}{-3}\] — окончательное искомое уравнение.
Пример №2:
Составить каноническое уравнение, проходящее через точки \[\sqrt[3]{2} ; \quad-\frac{1}{7}\]
Прямая является параллельной относительно оси координат. Направляющий вектор принимается \[\underline{j}=(0 ; 1)\]. Учитывая значение точек, через которые проходит прямая, записываем уравнение:
\[\text { Ответ: } \frac{x-\sqrt[3]{2}}{0}=\frac{y+\frac{1}{7}}{1}\]
Пример №3:
Составим уравнение, руководствуясь графиком, приведенным ниже.
Из рисунка видно, что прямая проходит через точки со значениями (0;3). Расположена параллельно относительно оси x (ось абсцисс). Координатный вектор \[\underline{i}=(1,0)\] — направляющий вектор, для данной системы.
Собрав все данные, преобразовав их. можно записать уравнение:
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Параметрическое уравнение на плоскости и его характеристики
Уравнение такого типа записываются в следующем виде:
\[x=x_{1}+\alpha_{x} \cdot \lambda\]
\[\mathrm{y}=y_{1}+\alpha_{y} \cdot \lambda\]
\[x_{1} y_{1} \alpha_{x} \alpha_{y} \text { — действительные простые значения. }\]
\[\alpha_{x} \alpha_{y} \text{ — значения, которые математически возможны равняться нулю.}\]
\[\lambda \text { — параметр, значение которого может быть различным. }\]
Уравнение параметрического вида предназначено, для установления не очевидного взаимодействия между координатами точек системы. Для определения этого свойства и вводится параметр \[\lambda\].
Пример №1:
Задана система уравнения:
Необходимо определить все координаты, каждой направляющей системы.
Коэффициенты перед значение \[\lambda\] имеют соответствующие значения координат направляющего вектора и равняются: \[\underline{\alpha}=(-1 / 2,3,0)\] — для прямой по заданию.
Соответственно запишем все координаты направляющих векторов:
Пример №2
Составить параметрическое уравнение в пространстве:
\[\underline{\alpha}=\left(2 ;-\frac{1}{\sqrt{3}}, 0\right)-\text { вектор направляющий.}\]
Точки (7, -1, 0) — значения точки на прямой координат.
\[x_{1}=7, y_{1}=-1, z_{1}=0, \alpha_{x}=2, \alpha_{y}=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \alpha_{z}=0\]
Полученные данные подставляем систему уравнения.
Особые моменты данного типа уравнений:
Имея любое значение \[\lambda\], можно определить три числа (z, y,x).
К примеру точки \[M_{1}\left(x_{1} \text { и так далее }\right) \text { находятсся в параметрах уравнения в системе. }\]
где значение \[\lambda\]=0.
Пример №3:
Любые значения точек находятся на прямой, для определенной заданной системы координат.
Запишем систему параметрических уравнение:
\[x=2+2 \cdot \lambda\]
\[y=3 \cdot \lambda\]
\[z=-1-\lambda\]
Поставляя данные первой точки, получаем уравнения:
Следовательно значение \[\lambda=1 \text {, для } M_{1}(4 ; 3 ;-2)\]. следовательно она находится на прямой координат.
Аналогичные действия проводим для второй координаты точек.
Выполнив вычисления, мы видим, что параметра для \[\lambda\] не существует.
Нормальное уравнение для координатной прямой
Нормальное уравнение можно выразить в виде уравнения:
\[A_{x}+B_{y}+C=0\]
Где числа А, В, и C имеют такие значения, что, вектор \[\underline{n}=(\mathrm{A}, \quad \mathrm{B})\] равняется единице, \[C \leq 0\].
Вектор \[\underline{n}=(\mathrm{A}, \quad \mathrm{B})\], будет является нормальным в системе координат.
Так же есть еще один способ записать нормальный вид уравнения, применяя для этого значения тригонометрических функций.
\[\cos \alpha \cos \beta\] — это действительные простые числа. Следовательно, они представлены направляющими косинусами. А также нормального вектора и единичной прямой.
Отсюда следует \[\underline{n}=\left(\begin{array}{lll} \cos \alpha & \cos \beta \end{array}\right)\] равняется равенству: \[\underline{n}=\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta=1\]
Значение \[\rho \geq 0\]
Данное значение определяет длину расстояния от прямой линии до начала координатной прямой.
Пример №1:
В задаче имеется уравнение прямой для общего случая.
2x-3y+4=0
Нужно используя вышеуказанное уравнение составить простое уравнение для координатной прямой.
Для начала запишем А=2; В=-3; С=4.
Неизвестное значение t, сможем вычислить из равенства используя известные значения.
t- будет отрицательным значение, так как С>0.
Перемножим уравнение:
Вывод решения: \[\frac{2}{\sqrt{13}} x+\frac{3}{\sqrt{13}} y-\frac{4}{\sqrt{13}}=0\]
Значение \[\frac{4}{\sqrt{13}}\] — будет являться, тем самым значение, которое показывает расстояние от начала до прямой координат прямой.
Пример №2.
Определим и составим нужное уравнение имея следующие известные нам данные: угол \[\varphi=60 \text { градусов }\]
Расстояние до прямой от начала координат равняется 4.
Используя данные решим задачу.
\[\text { Ответ: } \frac{1}{2} x+\frac{\sqrt{3}}{2} y-4=0\]
Пример №3:
Имея данные значения решим задачу согласно задания. Где угол \[\varphi=90 \text { градусов }\]
Расстояние до прямой от начала координат равняется 3.
Используя данные решим задачу.
Ответ: \[0 x+-1 y-3=-2\] координата не лежит на прямой, так как имеет отрицательное значение.
Выводы по материалу:
Рассмотрев типы уравнения, для прямой в плоскости. Перечислив их категории и основные характеристики. Можно сказать, что это одна из составляющих математики.
В ней переплетаются все основные значения и функции этой технической науки.
Для решения задач, необходимо обладать следующими навыками:
- вспомнить весь изученный материал по работе с тригонометрическими функциями: косинус, синус. тангенс и другие.
- вычисление отрицательных значений и их правила;
- решение уравнений с дробными числами;
- помнить правило возведения числа в степень.
Учитывая все, рекомендации, процесс работы с материалом по данной теме значительно облегчит процесс.