Линейные неравенства, примеры, решения

В статье мы рассмотрим, что собой представляют линейные неравенства с одной переменной и покажем, какими способами их можно решать.

Понятие линейного неравенства

Линейными неравенствами с одной переменной называют неравенства a*x < c либо a*x > c, в которых x – искомая переменная, а a и c некоторые числа. О том, что коэффициент при x может или не может быть равным нулю, ничего не говорится. Это позволяет строгое неравенство 0*x > c и 0*x < c записать в виде 0*x ≥ c и 0*x ≤ c.

Линейными неравенствами с одной переменой считают неравенства, имеющие вид ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0. Где a и b являются любыми числами, но a не должно равняться нулю. x – искомая переменная.

Неравенства ax + b > 0 и ax > c считаются равносильными, так как получаются с помощью переноса слагаемого из одной их части в другую. Решения подобных неравенств совпадают.

Примеры линейных неравенств с одной переменной:

• -2x + 4 > 0;
• 3x +1 ≤ 0;
• 2(x-1) < 2x-4;
• 3x+1 ≤ 6-3x
• 3x – 6 > 0.

Как решать линейные неравенства

Решением линейного неравенства называют нахождение всех значений переменной x, при которых оно сохраняет свою силу. Самыми распространёнными и результативными способами, с помощью которых удаётся решить подавляющее большинство линейных неравенств являются метод равносильных преобразований, метод интервалов и графический метод. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Решение линейных неравенств с помощью равносильных преобразований

Применительно к нашему случаю равносильными называются следующие преобразования:

• Перенос одного и более членов неравенства из одной части в другую. При этом знак переносимого слагаемого меняется на противоположный. В качестве примеров подобного рода неравенств можно привести
  2x − 3 > 6 и 2x > 6 + 3 или 10x – 1 > 3 и 10x > 3 + 1.

• Деление или умножение обеих частей неравенства на одно положительное число. Знак неравенства при этом остаётся тем же. В качестве примеров можно указать
  2x > 9 и 10x > 45 или -9x > -15 и -3x > -5.

• Деление или умножение обеих частей неравенства на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом нужно сменить на противоположный. Примеры подобных неравенств следующие 5x < -8 и -10x>16 или  9x +12 > 21 и 3x — 4 < -7.

---

Если числовое неравенство b > 0 («<», «≤», «≥») верно, то исходное неравенство будет иметь своё решение при любом из значений x. Если же оно неверно, то у исходного неравенства решений нет вовсе.

---

У некоторых из читателей возможно появился вопрос, как быть, если и в роли коэффициента при x, и в роли слагаемого выступает ноль. Это неравенства 0*x + 0 < 0, 0*x + 0 > 0, 0*x + 0 ≤ 0, 0*x + 0 ≥ 0. Два первых из них решений не имеют, ведь ноль не может быть больше или меньше самого себя. У двух последних решения есть т. к. любое число равно самому себе, в частности, ноль равен нулю.

Решение линейных неравенств методом интервалов

Он может быть использован лишь тогда, когда коэффициент при x не равен нулю. Последовательность действий при использовании указанного метода следующая:

1. Находятся нули функции y = ax + b. Для этого, нужно решить уравнение ax + b = 0. При a неравном нулю его решение будет состоять из одного корня x₀.
2. Строится координатная прямая. На ней изображается точка с координатой x_0. При строгом неравенстве точку нужно изобразить выколотой. При нестрогом – закрашенной.
3. На промежутках определяются знаки функции y = ax + b. Если решение неравенства имеет знаки > или ≥, то добавляется штриховка над положительным промежутком. Если решение идёт со знаками если < или ≤, штриховка происходит над отрицательным промежутком.

Решение неравенств графическим способом

Главное при пользовании этим методом правильно найти промежутки, которые требуется изобразить на графике.

Действия при пользовании графическим способом следующие:

• При решении ax + b < 0 определяем промежуток, где график будет ниже оси 0x;
• При решении ax + b ≤ 0 определяем промежуток, где график либо ниже 0х, либо совпадает с ней;
• При решении ax + b > 0 определяем промежуток, где график выше оси 0х;
• При решении ax + b ≥ 0 определяем промежуток, где график выше оси 0х или совпадает с ней.

Неравенства, сводящиеся к линейным

При их решении следует использовать такие приёмы, как раскрытие скобок, собирание в левой части неравенства чисел, а в правой переменных, деление обеих частей на коэффициент при x.