Метод интервалов: алгоритм, как решать методом интервалов рациональные неравенства

Причем, данный способ применим, как для поиска решений рациональных неравенств с наличием одних, так и нескольких переменных с помощью специального алгоритма с соблюдением правил расстановки знаков на промежутках с учетом тех или иных нюансов, которыми обладает метод интервалов.

Алгоритм для решения неравенств, используя метод интервалов

Если предельно кратко ответить на вопрос, в чем состоит методология интервалов, то это один из эффективных и простых способов решения различных, преимущественно рациональных неравенств, с помощью определения знаков сомножителей на различных интервалах (промежутках) числовых множеств.

Что касается самого алгоритма метода интервалов, то это пошаговое выполнение манипуляций с рациональными неравенствами в виде:

1. Переноса всех значений неравенства в левую часть, при этом в правой части оставляя нуль.
2. Определения допустимых значений.
3. Нанесения на ось всех корней неравенств.
4. Взятия произвольных значений x на одном из интервалов, которому соответствует корень, осуществляя чередование знаков с обращением внимания на их изменения при прохождении определенных значений точек на графике.
5. Решением неравенств являются интервалы с точками областей допустимых значений, помещая эти промежутки в скобки. Что позволяет получить графические отображения числовых множеств, которые являются решениями неравенств.

Уравнение методом интервалов, как способ определение нулевых значений неравенств

Сама методология промежутков заключается в разложении неравенств на отдельные множители, в определении области допустимых значений или всех значений переменных при которых выражения имеют смысл, а также в определении знаков сомножителей.

Для пояснения – вот простой пример: (x+2)⋅(x−3)>0. Тут видно, что на множители в неравенстве уже разложены, а также области допустимых значений здесь тоже расписывать не надо, потому что нет функции деления на переменную. Впрочем, как и нет корней или радикалов.

Предположим, что метод интервалов нам неведом, то для решения этого неравенства нужно рассуждать логически, что левая его часть будет иметь положительное значение, если оба множители будут положительными либо отрицательными.

А в тех случаях, когда множители окажутся с разными знаками, то правая часть этого неравенства будет иметь отрицательное значение.

Что касается того, какие будут значения x, при которых множители станут отрицательными либо положительными, то тогда следует решать уравнение (x+2)⋅(x−3)=0.

При этом корни теперь уже этого уравнения покажут пограничные значения (x = −2; x = 3), при которых, если от них отступить в то или иную сторону, то множители, а именно (x+2), а также (x−3) будут положительными либо отрицательными.

Как это отображено на Рис. 1:

Научное обоснование метода интервалов

В основу методологии промежутков взято свойство соблюдения непрерывности функции (а,b) с сохранением постоянства ее знака на определенных интервалах. Помимо того, что функция неразрывна, она не способна превратиться в нуль. В противном случае эта функция поменяет знак на противоположное значение.

Что, собственно, и подтверждено теоремой Больцано-Коши, которая гласит, что непрерывная функция, обозначенная на интервале двумя значениями, имеет непрерывные значения между ними.

Кроме теоремы Больцано-Коши обосновать наличие постоянного знака у числовых значений на интервалах можно с помощью числовых неравенств. Если, например, взять \[\frac{x-4}{x+2}>0\] и, определив нули, как числителя, так и знаменателя и нанести их на числовую ось, то получим интервалы, равные (− ∞; −2), а также (−2; 4) и (4; +∞).

Для доказательства того, что на двух из этих промежутков, за исключением интервала, где численное значение может быть нулем с переходом на противоположный знак, применимо правило для деления отрицательных значений.

Исходя из этого правила (произведение и частное от деления минус на минус – это плюс) и с учетом того, что знаменатель не должен быть нулем, выходит, что \[\frac{x-4}{x+2}>0\] всегда будет иметь положительный знак.

Алгоритм определения нулей, как числителя, так и знаменателя

Определить нули в дробных неравенствах очень просто. Для этого числитель и знаменатель нужно сделать уравнениями или, иначе говоря, приравнять их к нулю.
Например, в неравенстве \[\frac{x(x-0,5)}{x(x+2 x+3)(x+4)}>0\] числитель x(x−0,5) = 0 и знаменатель x(x+2x+3)(x+4) = 0 преобразуем в уравнения и решаем их. Получая в знаменателе x = 0 и x = 0,5. В числителе же получится x = 0; x = −1; x = −4.

Вывод: решение уравнений, как в числителе, так и в знаменателе при дробных неравенствах позволяет найти их нулевые значения.

Определение знаков на промежутках

Определить, какой знак у того или иного интервала, можно очень просто. Для этого следует найти значения левой части неравенства для любой точки этого интервала.

И, как уже было выше рассмотрено, согласно теореме Больцано-Коши, что знак любого значения внутри промежутка будет соответствовать знаку всего интервала.

Решения методом интервалов неравенств на примерах

Для того, чтобы решить \[\frac{(x-2)(x-3)(x-4)}{(x-1)(x-3)(x-4)} \geq 0\] неравенство методом интервалов, опять же сначала нужно определить нулевые значения, как числителя (2, 3 и 4), так и знаменателя (1, 3 и 4) и нанести эти точки на координатную прямую.

Рис.2.

Далее, если расставим знаки на промежутках, то получим рисунок координатной оси с итоговым результатом определения знаков на интервалах:

Рис.3.

Еще один пример применения метода интервалов

Следует иметь в виду, что решение дробно-рациональных функций, требует проведения их преобразований, например, делая их уравнениями. Так, имея \[\frac{(x-1)(x+4) 2}{(x-\sqrt{6})(x-1)}<0\] определяем нули, как у числителя (1, −4), так и у знаменателя \[(\sqrt{6}, 1)\], отмечая их на координатной оси.

Рис. 4.

Решения методом интервалов в обобщенном виде

Что касается обобщенных решений неравенств типа \[f x>0(<, \geq, \leq)\], то все действия с ними осуществляются по несколько иному, не совпадающему с первоначальным алгоритмом поиска решений неравенства методом промежутков, а именно:

• осуществляются определения нулей, а также значений функций fx;
• отмечаются на координатной оси эти точки;
• определяются знаки промежутков;
• делается запись ответа.

При этом сам ответ будет включать, как промежутки значений со знаками плюс и минус, так и точки между ними.

Следует иметь в виду, что рассмотренный в этом материале метод интервалов применяется не только для решения дробно-рациональных неравенств, но для того, чтобы решать квадратные, показательные и логарифмические неравенства.