Понятие равенства, знак равенства, связанные определения

Понятие равенства на интуитивном уровне знакомо почти всем. Оно в простейших примерах используется ещё в начальных классах школы. Однако со всё более углублённым изучением математических наук такого общего представления явно недостаточно. Необходимо точно определить, что такое равенство в математике, сформулировать его основные свойства и задать способы записи. Этому и посвящена данная статья.

О понятии равенства

Когда мы говорим, что полученное в результате неких математических действий число равно другому числу или одно математическое выражение равно другому математическому выражению, нам всегда приходится иметь дело с объектами, количество которых больше одного. Исходя из этого не трудно прийти к мысли, если объект один, понятие равенства теряет свой смысл. Для проведения операции сравнения математических объектов должно быть минимум два.

Теперь ещё об одном важном моменте. В языке у слова «равенство» много синонимов: идентичность, сходность, одинаковость, подобие, тождественность, эквивалентность и т. д. Это позволяет пользоваться понятием равенства людям, которые даже близко с математикой не знакомы. Чтобы быть сравнимыми объекты должны иметь некое общее свойство. Например, куб и пирамида, хотя и разные геометрические фигуры, но занимают в пространстве некоторый объём. Это их общий признак, а значит по нему доступно сравнение. Можно сказать, что они равны по своему объёму или не равны по нему. Также данные математические объекты можно сравнивать по форме, площади поверхности, числу сторон, граней и т. д. Поэтому, когда мы говорим о равенстве, всегда нужно указывать, какого оно рода. Куб и пирамида могут оказаться равными по объёму и, допустим, площади поверхности, но отличаются по числу граней.

Что такое знак равенства

Для указания на то что математические объекты равны друг другу используется знак =, это общепринятое обозначение. Сравниваемые объекты при этом следуют рядом друг с другом, их должен разделять лишь знак равенства и никаких других символов. Например, 2³ = 8. Это означает, что 2 в кубе равно 8. Или пример из геометрии: площадь треугольника ABC равна 9 сантиметрам. Записывается, как S_ABC = 9 см². Это означает, что площадь обозначена буквой «S» и, что она по своему числовому значению равна 9 квадратным сантиметрам.

Строгое математическое определение равенства, как наиболее логически сильной разновидности отношений эквивалентности, большинству читателей не скажет ничего. Правильнее будет выразить всё более простым языком.

Для обозначения неравенства пользуются знаком ≠. На неравенство математических объектов могут указывать также символы <или>. Однако они уже не просто указывают на отсутствие равенства, но и на то, что один из математических объектов больше и меньше другого. Приведём несколько примеров.

Равенство 15 = 15 верное, равенство, √64 = 8 тоже верное, а вот записи 2 = 5 или (-7) = 7 неверны.

О свойствах и признаках равенств

О равенствах из трёх и более объектов

Под таковыми понимают класс математических равенств типа 4 = 2² = √16 или

AB = BC = CD = DE. Первое называется двойным неравенством, втрое тройным. Обратите внимание, в первом равенстве объекта три, а называется оно двойным, во втором равенстве объекта четыре, а называется тройным. Полагаю, вы уловили закономерность.

Исходя из выше приведённых свойств равенств, в этих тождествах не только соседние объекты равны между собой, а абсолютно все. В частности, число 4 равно не только 2², но и √16. BC равно не только AB и CD, но и DE, при этом DE также равен AB и BC.

Можно составить цепочки равенств

4 = 2² = √16

4 = √16 = 2²

√16 = 4 = 2²

Или

AB = BC = CD = DE

BC = AB = CD = DE

CD = AB = DE = BC

DE = CD = AB = BC

Так можно наглядно записывать процесс решения уравнений и многих других математических задач. Способ позволяет очень подробно отразить все этапы решения и проводимых вычислений, сделать его всем понятным.