Основные определения и свойства степеней в математике

В предложенном материале мы подробно будем изучать степени, их свойства. И постараемся весь изученный материал усвоить на примерах. 

В этой статье мы подробно изучим, что такое степень числа. Разберемся и охарактеризуем определения степени числа. При этом выучим все существующие в математике показатели степени. Начиная от натурального числового показателя, заканчивая рациональным показателем. 

Весь материал попутно будем рассматривать, и закреплять на конкретных примерах.

Перед тем, как приступить к изучению основных свойств степеней, разберем следующие основные определения, которые нам понадобятся в процессе всего изучения материала определения: 

• основное понятие степени; 
• что называют основание степени; 
• показатели степени; 
• вычисление значений в степень;
• основные свойства степеней.

Разберем данное определение на примерах: 

2· 2 =4 

2· 2· 2=8 

2 ·2· 2 ·2· 2 ·2=64 

Левую часть равенства можно упростить. Для начала указать множитель, который повторяется,  и обозначить количество его повторений. Повторяющийся множитель в данном случае это 2.  Дублируется он три и шесть раз соответственно. Поэтому над двойкой записываем 3 и 6: 

2³=2· 2 ·2

2⁴=2· 2·2·2

2⁶ =2·2·2·2·2·2

2⁸ =2·2·2·2·2·2·2·2

Формулировка выражений звучит следующим образом: 

• два в четвертой степени равно шестнадцать;
• два в шестой степени равно шестьдесят четыре;
• два в восьмой степени равно двести пятьдесят шесть;

Основание выражения  степени — это числовое или буквенное значение, которое повторяется в выражении не однократно. 

В вышеизложенных выражениях — это число два.

Показатель степени — это значение, которое отображает, количество повторений основания степени.

5³ =5· 5· 5 

6³ =6 ·6 ·6

В примере, мы видим, что число 5 и 6 повторяется три раза, так как степень, в которую нужно возвести число равняется трем. 

Если степень, будет иметь иное значение. Например: 7, то показатель степени будет равняться семи.

Иными словами, приведенный расчет называется приведением в степень. 

Например: нам необходимо определить произведение пяти одинаковых чисел, каждый из них  равен 3, то правильно будет сказано, что число 3 возводится в пятую степень: 

3⁵=3·3·3·3·3 =243 

Видим, что число три в пятой степени равняется числу 243. 

Для закрепления разберем еще несколько простых примеров. 

Пример 1. 

3⁴= 3·3·3·3 =81

Пример 2.

7⁴= 7·7·7·7 =2401

Пример 3

8⁴= 8·8·8·8 =4096

Степени, так же подразделяются на:

 — целую степень;

 — вещественную степень;

 — рациональную степень;

 — комплексную степень.

В алгебре, да и, в общем, в математике, степень, как правило, имеет четыре основных свойства: 

• натуральную степень показателя значения; 
• степень целого показателя;
• рациональную и иррациональную. 

В данном уроке, мы поочередно разберемся с каждым свойством, его особенностями расчетов. Закрепим материал на конкретных примерах с применением числовых данных. 

Свойство степени с натуральным показателем и особенности вычисления

Натуральный показатель степени имеет следующие свойства:  

а) Главное свойство:  

xⁿx^m =x^n+m

yⁿy^m =x^n+m

Равенство является верным при любых значениях m и n. И действительном значении а. 

(x x …x) — n множителей 

(x x …x) — m множителе 

Равенство мы разберем на конкретном  числовом примере:

Мы имеем две степени с основание четыре.

Натуральные показатели имеют значения три, и пять соответственно. 

Составим равенство, подставляя числовые значения:

4³ x4⁵=(4·4·4)(4·4·4·4·4)=64×1024=65536 или 4⁸=4·4·4·4·4·4·4·4=65536

Решив равенство, мы получаем: 4³4⁵=4⁸

Тем самым, мы видим, что равенство доказано. 

Также, используя свойство умножения, можно обобщить свойства. Если в равенстве представлены от трех и более степеней. Натуральные числа обозначим m1, m2.

Составим равенство: x^m1x^m2……x^mk

Составим  несколько равенство, подставляя числовые значения, для лучшего усвоения:

(2)²(2)³(2)³(2)⁴=(2)^2+3+3+4=(2)¹²

(3)²(3)³(3)³(3)⁴=(3)^2+3+3+4=(3)¹²

(5)²(5)³(5)³(5)⁴=(5)^2+3+3+4=(5)¹²

б) Свойство частных  степени, когда основания имеют одинаковые значения

Свойство частных имеет следующий вид, в виде равенства:

xⁿx^m =x^n-m

Оно справедливо при любых натуральных значений n и m, любом значении x, кроме нуля.  Значение основания, нельзя принимать равным нулю. В противном случае при расчете, придется делить на ноль, что по правилам математики недопустимо. 

Так же, есть еще одно условие: значение n должно быть больше, значения m. После вычета должно получится положительное число.

Для доказательства условия, составим равенство:

x^n-mx^m=x^(n-m)+m=xⁿ

Преобразовав равенство, мы можем вывести следующий пример:

x^n-mx^m=xⁿ

Для наглядности, подставим числовые значения:

2⁵2²=2^5-3=2³

4⁵4²=4^5-3=4²

в) Произведение степеней

Степень произведения можно выразить в виде равенства:

(xy)^m=x^my^m

Равенство можно преобразовать в следующей вид:

(xy)^m=(xy)(xy)……(xy), количество множителей равно числовому значению степени.

Рассмотрим несколько  равенств с числовыми значениями: 

— Вариант для положительных значений:

(45)³=(4)³(5)³

(58)³=(5)³(8)³ 

— Вариант для дробей:

(56×24)⁴=(56)⁴(24)⁴ 

— Вариант отрицательных значений:

(56(-89))⁴=(56)⁴(-89)⁴

г) Возведение частного в натуральную степень.

Составим равенство для доказательства данного свойства.

(xy)^m=x^my^m

Должны соблюдаться следующие условия:

• значения x и y, должны быть не равны нулю;
• степень (m) — натуральное число.

Для доказательств равенства распишем пример:

(xy)^mym=((xy)y)ⁿ=x^m

Для закрепления знаний, решим несколько примеров, заменяя буквенные значения числовыми.

(168)²=(16)²(8)²

(12(-7))²=(12)²(-7)²

(1,3(-3))³=(1,3)³(-3)³

(1,4(-3))³=(1,4)³(-3)³

д) Принцип возведения степени в степень

Составим равенство:

(xⁿ)^m=x^nxm

(2⁵)⁴=2^5x4=2²⁰

Также, данное свойство, может быть выражено и несколькими степенями, в виде:

((((xⁿ)^b)^a)^m=x^{n·x·b·a·m}

Для решения равенства, такого типа, необходимо перемножить между собой значение степеней.

((((32)³)⁴)²=3²³⁴²=3⁴⁸

((((5)³)⁴)²=5²³⁴²=5⁴⁸

((((12)³)⁴)⁶=3²³⁴⁶=3¹⁹²

е) Принципы равенства и неравенства.

Данный принцип звучит следующим образом: большее значение имеет степень, у  которой значение основания степени большее или наоборот. 

Например:

x²<y² или подставив числовые значения, образует вид: 4⁵<5⁵

Еще несколько примеров для закрепления, с разными числовыми значениями:

12^1,5<32 ^1.5

4²>3²

3²>1²

Как видно из примеров, равенство верно, в том случае если значение основания больше.

Принцип неравенства считается верным, если одна степень больше значения другой, а основание больше нуля, но не меньше единицы. То есть, числовое значение должно быть положительным.

xⁿ>x^m

4⁵>4²

Степень с целым показателем и ее свойства

После того как мы определили степень числа  с натуральным показателем, мы можем дальше продолжать расширять знания о степени и перейти к степени числа, показателем которой является любое число, в том числе и отрицательное и ноль. Из этого следует, чтобы оставались правильными все свойства степени, потому что натуральные числа являются составляющей целых чисел.

Натуральный вид  степени тоже является степенью с целым показателем, потому что  натуральные числовые значения так же являются целыми числами.

Для степеней с целыми положительными показателями, свойства аналогичны, как и для натуральных показателей. 

Рассмотрим основные свойства степеней с целыми показателями.

• Принцип решения отрицательных степеней.

Рассмотрим следующую последовательность степеней:

3⁰3¹3²3³3⁴3⁵3⁶3⁷

Первая степень в данной цепочке 3⁰. Предыдущая степень с целым показателе будем уже с отрицательным значением 3^-1.

3^-13⁰3¹3²3³3⁴3⁵3⁶3⁷

Продолжим решать значения с отрицательными степенями:

3^-73^-63^-53^-43^-33^-23^-13⁰3¹3²3³3⁴3⁵3⁶3⁷

Теперь определим степени с натуральным значением и с нулем.

Расчеты приведены в таблице 1

Таблицы 1. Расчет степени с  натуральными показателями и с нулем

Значение степени	1	2	3	4	5	6	7
Результат вычисления	1	1	1	1	1	1	1

Если вычисление положительных значений и нуля, особых трудностей не вызывает.  А что делать с отрицательными показателями? На этот вопрос мы ответим далее.

При возведении в положительную степень, как правило, число имеет большее значение. А вот при вычислении в отрицательной степени, результат будет иметь меньшее значение. 

Если для примера взять  число z, и начать поочередно увеличивать его степень, то в результате мы увидим поочередность чисел, где  последующее число меньше следующего в z раз.

Для примера, возьмем число 4.Начало расчета возьмем ноль и будем поочередно повышать степень. Далее найдем значение при вычислении.

Расчеты приведены в таблицу 2.

Таблицы 2. Расчет степени с натуральными показателями.

Значение степени	0	1	2	3	4	5	6	7
Результат вычисления	1	4	16	64	256	1024	4096	16384

Получили перечень чисел, в котором каждое число больше предыдущего числа в четыре раза. Тогда правильно предположить, что число, которое имеет значение больше единицы, будет в четыре раза больше единицы. 

Для определения и решения выражения 4^-1 , необходимо выполнить следующее действие: один разделить на четыре.

Получается, что степень 4^-1 мы вычислили. Она равна рациональному числу 1/4. Для того чтобы вычислить другие значения, проводим следующие вычисления.

Предыдущее за числом 1/4 должно быть в два раза меньше. Чтобы его получить разделим 1/4  на 2.

Отсюда следует, что 1/4>1/16 в четыре раза.

Выполняя деление на четыре определим значения других степеней с целыми отрицательными показателями:

Расчеты приведены в таблицу 3.

Таблицы 3. Расчет степени с целыми  отрицательными значениями степеней.

Значение степени	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7
Результат вычисления	1	4	16	64	256	1024	16384

Проанализировав значения в таблице 3, можно сделать следующий вывод:  результаты степени с  отрицательными значениями, прямо пропорциональны значениям с положительным результатом.

Данные вычисления и сравнения сведем в таблицу 4.

Таблица 4. Сравнение и анализ итоговых данных.

-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7
1	4	16	64	256	1024	16384

0	1	2	3	4	5	6	7
1	4	16	64	256	1024	4096	16384

Решим еще несколько примеров для закрепления материала.

Воспользуемся, уже изученным правилом вычисления значения степеней, у которых значение отрицательное.

Потому что, если z будет равен нулю, в знаменателе число выйдет равным ноль. По правилам математики на ноль делить нельзя.

1.Принцип вычисления тождественных преобразований

Все данные преобразования для натуральных и целых показателей одинаковы. Они, также, сохраняются и для степеней, которые имеют отрицательные значения.

Далее, при помощи примеров, закрепим полученные знания

Пример 1. Найти значение выражения 5⁻¹⁵ × 5¹⁷

Вариант вычисления, первым способом, легче. Именно его чаще всего и применяют в процессе обучения.

Пример 2. Найти значение выражения (10−4)−1

Используем для расчета правило возведения в степень

(10⁻⁴)⁻¹ = 10^{−4 × (−1)} = 10⁴ = 10000

Пример 3. Определить значение выражения (10⁻⁵)⁻¹

Для этого применим  правилом возведения степени в степень:

(10⁻⁵)⁻¹ = 10^{−5 × (−1)} = 10⁵ = 10000

2.Перемещение степени между знаменателем и числителем

В случае если в знаменателе дроби, имеется степень, то ее можно переместить в числитель и при этом необходимо поменять знак на противоположный.

При этом само значение выражения не поменяется.

Данный метод иногда используется при упрощении выражений.

Рассмотрим основные примеры:

Пример 1.

\[\frac{4^{2}}{4^{2}}=1\] — это выражение является верным, так как после преобразования степеней мы получаем 4⁰. А как гласят правила алгебры — любое число в нулевой степени равно единице.

Пример 2. Перемещение значения степени из знаменателя дробного выражения \[\frac{1}{z^{2} x}\] в числитель \[\frac{1}{z^{2} x}=z^{-2} \times z^{-1}\]

Пример 3. Записать произведение 3x*(x + y)⁻⁴ в виде дроби, которая не имеет степени с отрицательным значением.

Выражение имеет множители 3 и (x + y)⁻⁴. Множитель 3 не изменяем, а множители (x + y)⁻⁴ заменяем на соответственно  равную ему дробь \[\frac{1}{(x+y)^{4}}\]

Затем перемножим множитель 3 с числителем дроби \[\frac{1}{(x+y)^{4}}\]. В результате образуется дробь \[\frac{3}{(x+y)^{4}}\].

Итоговый результат: \[3(x+y)-4=3 x \frac{1}{(x+y)^{4}}=\frac{3}{(x+y)^{4}}\].

3.Возведение числа 10 в целую отрицательную степень

Вычисление степени для  числа 10 происходит таким же образом, как и остальные числа. 

На примерах рассмотрим более подробно.

 Пример 1:

Если обратить внимание на пример, то мы увидим, что количество нулей в ответе равно показателю самой степени.

В случае, если значение степени равно -3, то в ответе количество нулей получается равным трем.

Проще говоря, чтобы возвести 10 в отрицательную степень, можно только записать количество необходимых нулей перед единицей. Но, не забыть  поставить запятую, перед вторым нулем.

Пример 1:

10 ^-2=0,01;

Пример 2:

10 ^-3=0,001;

Пример 3:

10 ^-4=0,0001;

Пример 4:

10 ^-6=0,000001;

Пример 5:

10 ^-8=0,00000001.

4.Преобразование значений 0,1, 0,01, 0,001, где основанием степени является число  10

Если степень представлена числами 0,1; 0,01; 0,001 и основание имеет значение 10. Для преобразования необходимо:

• указать отрицательный показатель степени;
• записать основание равным десяти.

Пример 1: Значение 0,01, где основание — число 10.

В числе 0,01  имеется два 0. Значит, оно будет представлено как 10 ^-2. Значение показателя равно значению нулей в числе 0,01.

0,01 = 10^-2

Число 0,01 это значение деления 1/100,  или  1/10²

Пример 2: Значение 0,00001 в виде степени с основанием 10.

0,00001 = 10^-5

5. Вид числа (значения) стандартный

Запишем число 4 000 в следующем виде 4 и 1 000

4 × 1 000 

Значение 1 000 записать в виде значения 10³. И тогда выражение будет иметь вид, как 4 × 10³.

Именно такое выражение и называют стандартным видом. Он позволяет записывать большие и маленькие числа в более компактном виде. 

Пример 1. 

1,5× 1 000 = 1,5× 10³

Пример 2.

0,158× 10 000 = 0,158× 10⁴

Пример 3.

26× 1 000 000 = 26× 10⁶

Стандартный вид числа имеет следующее выражение: z × 10m, где 1 ≤ z < 10 и m — целое число. Где:

z — исходное числовое значение, которое должно соответствовать  неравенству 1 ≤ z < 10.

Возьмем для примера число 14. Подставив его в неравенство и проверим условие. 1 ≤ 14 < 10. Мы видим, что неравенство не соответствует условию. Поэтому приводим число 14 к виду, что бы неравенство соответствовало условию.

Для этого передвинем в числе 14 запятую влево на одну цифру и получим 1,4. Теперь неравенство удовлетворяет условию.

1 ≤ 1,4 < 10

Теперь наша задача состоит в том, чтобы записать произведение z × 10m. С числом z — у нас будет 1,4. Осталось правильно подобрать степень.

Число 14, после переноса запятой, свое значение утратило.  Чтобы восстановить изначальное значение числа запятую нужно передвинуть обратно в правую сторону на одну цифру, то есть умножить число 1,4 на 10.

Значит, чтобы записать число 14 в стандартном виде, нужно представить его в виде произведения.

14 = 1,4 × 10¹

Свойство степени с рациональным показателем

От целых показателей степени числа z мы переходим к рациональным показателем степеням. Далее мы определим степень с рациональным показателем, причем будем производить расчеты так, чтобы сохранялись все свойства степени с целым показателем. Это обязательно, потому что целые числа являются непосредственно частью рациональных чисел.

Свойство степени с рациональным показателем значительно облегчает изучение степеней в целом. Изучив данный метод, можно легко научится решать задачи различного уровня сложности. 

Рассмотрим основные свойства степени с рациональным показателем.

а) Произведение степеней с основаниями, которые имеют одинаковые значения.

 б) Свойство частного значения.

Доказательство данного свойства идентично по сравнению с предыдущим.

в) Свойство произведения в степень в виде дроби

г) Свойство степени в степени.

д) Свойство сравнения степеней со значениями равными между собой

z^m<y^m — условие любых положительных значений z и y, z < y и любом рациональном значении m>0.

Отсюда следует неравенство: m<0·z^m>y^m

е) Условие рациональных чисел

z^x<z^y, при следующем условии:

x > y   при 0<z<1; если z>0 z^x>z^y

 Для того чтобы доказать все перечисленные  условия, нам необходимо будет вспомнить, понятие степени с дробным показателем. 

Рассмотрим  свойство с рациональным показателем на примере:

Пример №1.

Пример № 2: необходимо вычислить \[8 \frac{2}{3}=\frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{8\left(\frac{1}{3}\right)}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}\]

Преобразуя уравнение, мы получим следующий вид: 4¹⁵=(4³)⁵далее записываем в виде \[\sqrt[5]{\left(4^{3}\right)^{5}}=4^{3}=64\]

Степень с иррациональным и действительным показателем

Понятно, что множество действительных чисел можно рассматривать как объединение множеств рациональных и иррациональных числовых значений. Поэтому степень с действительным показателем принято считать определенным значением, когда  определяются степень с рациональным показателем и степень с иррациональным показателем. Про степень с рациональным показателем было подробно рассмотрено в предыдущем пункте, осталось лишь разобраться подробнее со степенью с иррациональным показателем.

Основные свойства иррациональных чисел:

—  сумма  из двух положительных иррациональных чисел может равняться рациональным числом.

—  множество иррациональных чисел встречаются повсюду на протяжении всей числовой прямой

—  между  двумя любыми различными рациональными числами имеется иррациональное число.

Свойства иррациональных степеней, как было уже сказано ранее, включают в себя все предыдущие характеристики с других свойств степеней 

1.  a ^p ⋅ a ^q = a ^{p + q};

2. a ^p : a ^q = a ^{p – q}; 

3; ( a ⋅ b ) ^p = a ^p ⋅ b ^p;

4.( a : b ) ^p = a ^p : b ^p; 

5. ( a p ) ^q = a ^p ⋅ q;

6. a ^p < a ^q a^p =0 a>0, то a ^p > a^q a^p>a^q;

7. a p < a q a^p =0 a>0, то a ^p > a^q a^p>a^q. 

Таким образом, все степени, показатели которых p^p и q^q являются действительными числами, при условии

a > 0 a>0 обладают теми же свойствами.

Для определения степени с иррациональным показателем, часто конечный результат определяют с точностью до определенного  знака.

Для того, чтобы вычислить число в иррациональной степени, нужно его число возвести в дробную степень. 

z^zn

Более точный результат мы получим, при наиболее приближенном значении.

Рассмотрим на примере: \[3^{\sqrt{3}}\]

Решение:   

— Вычислим значение корня из 3.

— Определим приближенное значение до четырех цифр после запятой.

— Возведем значение три в степень и получим значение, в виде бесконечной дроби:

— Далее необходимо округлить полученное  числовое значение до четырех знаков.

Иррациональный процесс расчета, метод очень трудоемкий. В основном все вычисления в алгебре строятся таким методом, чтобы избавиться от иррациональности. Он несет в себе неудобства расчета, ведь иррациональность не дает возможность получить точность определения окончательного значения.