Как найти площадь треугольника, формулы треугольника

Понятие площади

В этом собственно и состоит понятие площади. У неё есть следующие два свойства:

1. Площадь равных геометрических фигур имеет одно и то же числовое значение;
2. Величина площади фигуры равняется сумме единичных площадей квадратов, на которые её можно разделить.

Пример 1.

Пусть у нас имеется прямоугольник в котором укладывается 7 клеток по вертикали и 12 по горизонтали. Это значит он будет иметь стороны a=7 и b=12.

Из рисунка видно, что S нашего треугольника это половина таковой у прямоугольника.  Последняя вычисляется так \[\mathrm{S}_{\text {прям }}=\mathrm{a} * \mathrm{~b}\]. Чтобы узнать площадь треугольника, разделим \[\mathrm{S}_{\text {прям }}\] на 2, тогда получим:

Подставляем численные значения (7*12)/2 = 42.

Как найти площадь треугольника, если мы знаем его основание и высоту

В нашем случае основанием считается сторона AB. Формула для S получается следующей:

Доказательство:

Посмотрите рисунок. Из него ясно видно, что высота h делит ABC на 2 прямоугольных треугольника ACH и HCB.

По формуле (1) вычисление S каждого из них идёт так.

S(ACH) = (1/2)(AH)*h

S(HCB)=(1/2)(HB)*h

Чтобы вычислить площадь треугольника abc, нужно S(ACH) и S(HCB) сложить.

S=(1/2)(AH)*h+ (1/2)(HB)*h

Выносим (1/2) и h за скобки и получаем

(1/2)*h*(AH+HB)

Но AH+HB=AB, т. е.

S = (1/2)*AB*h, что и требовалось доказать.

Как видите, формулу площади треугольника получить и доказать достаточно легко.

Теперь о том, как найти площадь треугольника прибегнув к формуле Герона. Эта задача тоже не особо трудная.

Формула Герона для треугольника

По формуле Герона S треугольника, имеющего стороны a, b, c равна:

P — полупериметр. Он равен

Доказательство:

Положим, что x=CH. В этом случае BH=a-x

С помощью теоремы Пифагора по отношению к AHC и AHB будем иметь

Из них следует, что

\[b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a-x)^{2}\]

Отсюда легко найти

Чтобы найти h подставляем (5) в (3) и получаем

\[h=\sqrt{b^{2}-x^{2}}=\sqrt{b^{2}-\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a}\right)^{2}}\] (6)

Тогда S будет равняться

\[S=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h=\frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{b^{2}-\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a}\right)^{2}}\] (7)

Преобразовав это выражение, получаем формулу Герона для площади треугольника.

Вот так можно найти площадь треугольника по формуле Герона.

Площадь равностороннего треугольника

где a —длина одной из трёх сторон.

Для её доказательства употребим формулу Герона.

Полупериметр в нашем случае равен

p = (З/2)*a

Выражение под знаком корня в формуле Герона можно записать в виде

Выносим второй член произведения из-под корня и получаем

Далее так как p-a = (За-2а)/2=a/2 формула Герона для треугольника приобретает следующий вид

Выносим из-под корня a² и 4 в знаменателе, в результате расчёта получаем

Что и требовалось доказать.