Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа

Данный тип функций решают задачу вычисления и определения угловых значений по известному заданному значению тригонометрической функции.

 Например, синус какого угла будет иметь значение \[\frac{1}{2}\]

Напрашивается ответ,  что это угол 60° или \[\frac{\pi}{3}\] , однако вспоминая о периоде значений косинуса, делаем вывод:  углы, при которых косинус равен \[\frac{1}{2}\], существует достаточно много.

Данные тригонометрические функции являются обратными по значению. Они имеют множество характерных свойств:

Проведем доказательство перечисленных свойств на примере значения арксинуса. Значение угла данной функции равняется числу a. И данное значение находится на промежутке чисел от -1 до +1.

sin(arcsin a)=a

Все остальные функции доказываются аналогично, согласно их определения.

Определение значений обратных функций, будет иметь смысл при условии, что неизвестное число a будет делать в пределах от -1 до +1.

Противоположные значения для обратных значений функций арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

Взаимосвязь функций противоположных чисел можно записать в следующем виде:

Перейдем к доказательству записанных выражений.

Доказательство арксинусов:

\[\text { Если }-1 \leq a \leq 1 \Rightarrow \arcsin (-a)=-\arcsin a .\]

Данная тригонометрическая функция имеет предел значений от \[-\frac{\pi}{2} \text { до } \frac{\pi}{2}\] и синус его равен -a.

Докажем, что — arcsin a находится в пределах \[-\frac{\pi}{2} до \frac{\pi}{2}\] и обоснуем, что sin (-arcsin a)=-a.

Для функции арксинус справедливо неравенство, следующего вида:\[-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin a \leq \frac{\pi}{2}\].

Для того чтобы получить эквивалентное неравенство, нужно обе части равенства умножить на значение-1. После вычислений получим:\[-\frac{\pi}{2} \leq-\arcsin \mathrm{a} \leq \frac{\pi}{2}\].

Докажем, что sin ( − arcsin   a ) = − a sin(-arcsin a)=-a.

Применим свойство противоположных углов и составим уравнение:

 sin ( − a r c sin   a ) = − sin ( a r c sin   a )=-sin arcsin a.

Арккосинус доказывается следующим образом:

Записываем выражение: \[\arccos (-a)=\pi-\arccos a \text { при } a \in(-1,1)\]

Для этой функции принимает равенство \[0 \leq \arccos a \leq \pi\] обе части равенства нужно перемножить на значение равное -1 и изменить знаки на противоположные. Выполнив вычисления получим равенство: \[\pi \geq \pi-\arccos a \geq \pi\].

Чтобы доказать оставшиеся две функции, применяются аналогичные свойства и правила.

Правило противоположных чисел позволяет упростить процесс решения и исключает все операции при вычислении с отрицательными числами.

Например:

Принцип сложения обратных тригонометрических функций

Для тригонометрических функций, прямых или обратных, характерны простые математические свойства, а именно: сложение данных.

Составим доказательство функций для арксинуса и арккосинуса. Формулы arcsin и arccos в виде суммы, можно представить как  \[\arcsin a=\frac{\pi}{2}-\arccos a\]. Затем применить определение, из которого следует, что арксинус — это число, которое относится пределу значений  от \[-\frac{\pi}{2} \text { до } \frac{\pi}{2}\] , синус равняется  a.

Обе части неравенства \[0 \leq \arccos a \leq \pi\] умножим на значение -1 и прибавим \[\frac{\pi}{2}\].

Выполнив все необходимые операции по вычислению заданного равенства, получим следующие выражения:

Для завершения доказательства запишем формулу: \[\sin \left(\frac{\pi}{2}-\arccos a\right)=\cos (\arccos a)=a\]

Сформулируем свойства рассматриваемых значений  функций относительно  синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Значение  arcsin (sin a) имеет смысл в том случае, если a относится к пределам \[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\] и выполняется условие \[-\frac{\pi}{2} \leq a \leq \frac{\pi}{2}\].

Аналогичные условия характерны и для других функций. 

Пример: \[\arcsin \left(\sin \frac{8 \pi}{3}\right)=\frac{8 \pi}{3}\], является неверной, потому что \[\frac{8 \pi}{3}\], не удовлетворяет условию. 

Главные значения: arcsin, arccos, arctg и arctg

Применяя таблицы определения значений прямых функций, мы имеем точные числовые значения для следующих углов \[0, \pm 30,45,60,90,120 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \pm 180\] градусов. Таблица является очень простой и понятной для применения при выполнении необходимых расчетов.

Вычисленные значения принято сводить в таблицу, показанную выше. Особенно рекомендуются, ее заучивать наизусть, для более хорошего восприятия.

Учитывая данные вышеприведенной таблицы, можно вычислить необходимые для нас значения функций. 

Для более практичного применения сведем все данные арксинуса в таблицу. Их необходимо запомнить, а лучше всего выучить наизусть. Так ка к ним придется возвращаться на постоянной основе.

Далее определимся с основными значения арккосинуса. Для вспомнить функцию прямую по значению к данной.

Далее определяем нужные нам значения арккосинуса и сводим их в таблицу.

И напоследок остается вычислить значения арктангенса и арккотангенса.

Выведем значения основных прямых функций и получим следующие значения для каждого значения в градусах:

\[\operatorname{tg} 90^{\circ}, 270^{\circ}\] — данные угловые значения, не определяются, согласно основным законам геометрии и математики.

\[\operatorname{ctg} 0^{\circ}, 180^{\circ}, 360^{\circ}\]- для перечисленных угловых значений по законам математики и всех технических наук в целом, значения не определяются

Далее все данные запишем в виде табличной формы.

Первая таблица для арктангенса

Вторая таблица  для арккотангенса

Рассмотрим, также значения для нестандартных угловых значений и сведем их в таблицу.

В данной таблице приведены значения углов, которые считаются нестандартными. Также таблица необходима, чтобы облегчить жизнь, в первую очередь, школьной программе. 

Например:

Основные способы, которые помогут заполнить таблицу функций тригонометрии.

Необходимо изобразить простую таблицу, где будет несколько столбцов и строк, необходимых для заполнения данных. Следующая задача, состоит в том, что нужно пустые графы заполнить. Записываем в первом столбике значение математических функций, ранее нами изученных.

В начальной строке, должны отображаться самые часто используемые значения углов: от нуля до девяноста градусов и так далее. 

Оставшиеся ячейки нужно оставить незаполненными, для следующих действий. Чтобы понять тригонометрию, нужно изучать не только основные функции. Стоит уделить внимание и таким функциях как: косеканс (cosec) и секанс(sec).

На практике решений, обычно требуется точность в три-четыре знака, после запятой, но не более. Для расчета, с такой точностью, значение синуса, в формуле достаточно трех известных слагаемых, а иногда и двух.  Произвести простых четыре перемножения.  

Дважды разделить, умножить и отнять. 

Если производить действия инженерным калькулятором, становится понятно, что все вышеперечисленные действия, уже запрограммированы в его микросхеме.  

В таблице представлены следующие данные:

• число в квадратной и кубической степени;
• числа квадратных корней;
• логарифмические функции и значение;
• функции тригонометрии, представленный в градусах и радианах;
• обратные функции.

Мы показали, что представляет таблица, какие данные и значения отображает. Полную версию таблицы, можно найти в сборнике. Который издается каждый год. Для определения неизвестных нужно использовать следующие уже известные нам формулы:

Пример решения:

Нужно найти значение котангенс 13 градусов 42 минут.  Снова применим таблицу значения функций и найдем значение 13 градусов, а в строке 40 минут и поправку равную 2.  Находим искомое значение 4,102

Тригонометрические функции являются периодическими. Функции, которые, являются обратными к ним будут иметь многозначное значение.  Другим словами это множество угловых значений, для которых соответствующая функция является заданным числом.

Арксинус (y = arcsin x )  – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ).

Свойства функции	Функции y=arcsin х
E(f)	\[-1 \leq x \leq-1\]
D(f)	\[-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}\]
наличие четности	Нечётная, т.к. arcsin(-x)= — arcsin x
характер графика направление	возрастание

Арккосинус ( y = arccos x )  – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y).

Свойства	Функции y=arccos х
E(f)	\[-1 \leq x \leq-1\]
D(f)	\[0 \leq y \leq \pi\]
Чётности	Данное свойство ей не характерно. Иными словами отсутствует.
Монотонность	Убывающая

Арктангенс ( y = arctg x )  – характеризуется, как обратное значение функции относительно тангенса.

Следовательно арккотангенс имеет такие свойства по отношению к тангенсу.

Свойства	y=arctg х	y=arcctg х
E(f)	R	R
D(f)	\[\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\]	\[(0 ; \pi)\]
Характер функции	Нечётная	Нечётная
Периоды	Возрастающая	Убывающая