Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

В данном материале, будем рассматривать еще одну составляющую тригонометрии.  А именно: обратные тригонометрические функции.

Тригонометрические функции являются периодическими. Функции, которые, являются обратными к ним будут иметь многозначное значение.  Другим словами это множество угловых значений, для которых соответствующая функция является заданным числом.

Например \[\arcsin \left(\frac{1}{2}\right)\] в математике обозначает множество значений углов. \[\left(\frac{\Pi}{6} ; \frac{5 \pi}{6} ; \frac{13 \pi}{6}\right) 30^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}\].

Свойства функции	Функции y=arcsin х
E(f)	\[-1 \leq x \leq-1\]
D(f)	\[-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}\]
наличие четности	Нечётная, т.к. arcsin(-x)= — arcsin x
характер графика направление	возрастание

Свойства	Функции y=arccos х
E(f)	\[-1 \leq x \leq-1\]
D(f)	\[0 \leq y \leq \pi\]
Чётность	Данное свойство ей не характерно. Иными словами, отсутствует.
Монотонность	Убывающая

Свойства	y=arctg х	y=arcctg х
E(f)	R	R
D(f)	\[\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\]	\[(0 ; \pi)\]
Чётность	Нечётная	Нечётная
Промежутки	Возрастающая	Убывающая

Главные значения: arcsin, arccos, arctg и arctg

Применяя таблицы определения значений прямых функций, мы имеем точные числовые значения для следующих углов.

0,  \[\pm 30,45,60,90,120 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \pm 180\] градусов. Таблица является очень простой и понятной для применения при выполнении необходимых расчетов.

\[\alpha\]	\[0^{\circ}\]	\[30^{\circ}\]	\[45^{\circ}\]	\[60^{\circ}\]	\[90^{\circ}\]	\[120^{\circ}\]
\[sin\alpha\]	1	\[\frac{1}{2}\]	\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]	1	\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[cos\alpha\]	1	\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]	\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[\frac{1}{2}\]	0	\[-\frac{1}{2}\]
радиан	0	\[\frac{\pi}{6}\]	\[\frac{\pi}{4}\]	\[\frac{\pi}{3}\]	\[\frac{\pi}{2}\]	\[\frac{2\pi}{3}\]

\[\alpha\]	\[135^{\circ}\]	\[150^{\circ}\]	\[180^{\circ}\]	\[210^{\circ}\]	\[225^{\circ}\]	\[240^{\circ}\]
\[sin\alpha\]	\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[\frac{1}{2}\]	0	\[\frac{1}{2}\]	\[-\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[cos\alpha\]	\[-\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]	-1	\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]	\[-\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[-\frac{1}{2}\]
радиан	\[\frac{3\pi}{4}\]	\[\frac{5\pi}{6}\]	\[\pi\]	\[\frac{7\pi}{6}\]	\[\frac{5\pi}{4}\]	\[\frac{4\pi}{3}\]

\[\alpha\]	\[270^{\circ}\]	\[300^{\circ}\]	\[315^{\circ}\]	\[330^{\circ}\]	\[360^{\circ}\]
\[sin\alpha\]	-1	\[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]	\[-\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[-\frac{1}{2}\]	0
\[cos\alpha\]	0	\[\frac{1}{2}\]	\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]	1
радиан	\[\frac{3\pi}{2}\]	\[\frac{5\pi}{3}\]	\[\frac{7\pi}{4}\]	\[\frac{11\pi}{6}\]	\[5\pi\]

Вычисленные значения принято сводить в таблицу, показанную выше. Особенно рекомендуются, ее заучивать наизусть, для более лучшего восприятия.

Учитывая данные вышеприведенной таблицы, можно вычислить необходимые для нас значения функций. 

Для более практичного применения сведем все данные арксинуса в таблицу. Их необходимо запомнить, а лучше всего выучить наизусть. Так ка к ним придется возвращаться на постоянной основе. 

угол	-1	\[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]	\[-\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[-\frac{1}{2}\]	0	\[\frac{1}{2}\]	\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]
радианы	\[-\frac{\pi}{2}\]	\[-\frac{\pi}{3}\]	\[-\frac{\pi}{4}\]	\[-\frac{\pi}{6}\]	0	\[\frac{\pi}{6}\]	\[\frac{\pi}{4}\]	\[\frac{\pi}{3}\]
градусы	-90	-60	-45	-30	0	30	45	60
числовое значение	\[-\frac{\pi}{2}\]	\[-\frac{\pi}{3}\]	\[-\frac{\pi}{4}\]	\[-\frac{\pi}{6}\]	0	\[\frac{\pi}{6}\]	\[\frac{\pi}{4}\]	\[\frac{\pi}{3}\]

Далее определимся с основными значения арккосинуса. Для вспомнить функцию прямую по значению к данной.

Далее определяем нужные нам значения арккосинуса и сводим их в таблицу.

угол	-1	\[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]	\[-\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[-\frac{1}{2}\]	0	\[\frac{1}{2}\]	\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]
радианы	\[\pi\]	\[-\frac{5\pi}{6}\]	\[-\frac{3\pi}{4}\]	\[-\frac{2\pi}{3}\]	\[\frac{\pi}{2}\]	\[\frac{\pi}{6}\]	\[\frac{\pi}{4}\]	\[\frac{\pi}{6}\]
градусы	180	150	135	120	90	60	45	30
числовое значение	\[\pi\]	\[-\frac{5\pi}{6}\]	\[-\frac{3\pi}{4}\]	\[-\frac{2\pi}{3}\]	\[\frac{\pi}{2}\]	\[\frac{\pi}{6}\]	\[\frac{\pi}{4}\]	\[\frac{\pi}{6}\]

И напоследок остается вычислить значения арктангенса и арккотангенса. 

Выведем значения основных прямых функций и получим следующие значения для каждого значения в градусах:

\[\operatorname{tg} 90^{\circ}, 270^{\circ}\] — данные угловые значения, не определяются, согласно основным законам геометрии и математики.

\[\operatorname{ctg} 0^{\circ}, 180^{\circ}, 360^{\circ}\] — для перечисленных угловых значений по законам математики и всех технических наук в целом, значения не определяются.

Далее все данные запишем в виде табличной формы.

Первая таблица для арктангенса

угол	\[-\sqrt{3}\]	-1	\[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]	0	\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]	1	\[\sqrt{3}\]
радианы	\[-\frac{\pi}{3}\]	\[-\frac{\pi}{4}\]	\[-\frac{\pi}{6}\]	0	\[\frac{\pi}{6}\]	\[\frac{\pi}{4}\]	\[\frac{\pi}{3}\]
градусы	-60	-45	-30	0	30	45	60
числовое значение	\[-\frac{\pi}{3}\]	\[-\frac{\pi}{4}\]	\[-\frac{\pi}{6}\]	0	\[\frac{\pi}{6}\]	\[\frac{\pi}{4}\]	\[\frac{\pi}{3}\]

Вторая таблица для арккотангенса

угол	\[-\sqrt{3}\]	-1	\[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]	0	\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]	1	\[\sqrt{3}\]
радианы	\[\frac{5\pi}{3}\]	\[\frac{3\pi}{4}\]	\[\frac{2\pi}{6}\]	\[\frac{\pi}{2}\]	\[\frac{\pi}{3}\]	\[\frac{\pi}{4}\]	\[\frac{\pi}{6}\]
градусы	150	135	120	90	60	45	30
числовое значение	\[\frac{5\pi}{3}\]	\[\frac{3\pi}{4}\]	\[\frac{2\pi}{6}\]	\[\frac{\pi}{2}\]	\[\frac{\pi}{3}\]	\[\frac{\pi}{4}\]	\[\frac{\pi}{6}\]

Рассмотрим, также значения для нестандартных угловых значений и сведем их в таблицу.

угол	\[\pi / 12=15\]	\[\pi / 10=18\]	\[\pi/8 = 22,5 \]	\[\pi / 5=36\]	\[3 \pi / 10=54\]	\[3 \pi / 8=67,5\]	\[2 \pi / 5=72\]
sin	\[\sqrt{3}-1 / 2 \sqrt{2}\]	\[\sqrt{5}-1 / 4\]	\[\sqrt{2-\sqrt{2 / 2}} ;\]	\[\sqrt{5-\sqrt{5} / 2 \sqrt{2}}\]	\[\sqrt{5}+1 / 4\]	\[\sqrt{2+\sqrt{2 / 2}}\]	\[\sqrt{5+\sqrt{5} / 2 \sqrt{2}}\]
cos	\[\sqrt{3}-1 / 2 \sqrt{2}\]	\[\sqrt{5+\sqrt{5 / 2 \sqrt{2}}}\]	\[\sqrt{2+\sqrt{2 / 2}}\]	\[\sqrt{5}+1 / 4\]	\[\sqrt{5-\sqrt{5 / 2 \sqrt{2}}}\]	\[\sqrt{2-\sqrt{2 / 2}}\]	\[\sqrt{5}-1 / 4\]
tg	\[2-\sqrt{3}\]	\[\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}\]	\[\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\]	\[\sqrt{5-2 \sqrt{5}}\]	\[\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}\]	\[\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}\]	\[\sqrt{5+2 \sqrt{5}}\]
ctg	\[2+\sqrt{3}\]	\[\sqrt{5+2 \sqrt{5}}\]	\[\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}\]	\[\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}\]	\[\sqrt{5+-2 \sqrt{5}}\]	\[\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\]	\[\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}\]

В данной таблице приведены значения углов. которые считаются нестандартными. также таблица необходима, чтобы облегчить жизнь, в первую очередь, школьной программе.

Все приведенные таблицы значений имеют очень большую роль в процессе решения. Их необходимо заучить наизусть и постоянно для проверки повторять.

Основные способы, которые помогут заполнить таблицу функций тригонометрии

Необходимо изобразить простую таблицу, где будет несколько столбцов и строк, необходимых для заполнения данных. Следующая задача, состоит в том, что нужно пустые графы заполнить. Записываем в первом столбике значение математических функций, ранее нами изученных.

В начальной строке, должны отображаться самые часто используемые значения углов: от нуля до девяноста градусов и так далее.

Оставшиеся ячейки нужно оставить незаполненными, для следующих действий. Чтобы понять тригонометрию, нужно изучать не только основные функции. Стоит уделить внимание и таким функциях как: косеканс (cosec) и секанс(sec).

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg по таблицам Брадиса

Первое упоминание о таблице, датируется 20-ми годами прошлого века. Основоположником, является советский ученый математик, и талантливый педагог Владимир Брадис.   

Созданная Брадисом таблица, позволяет определить значения тригонометрических функций, с большой точностью, а именно до четырех знаков.

На практике решений, обычно требуется точность в три-четыре знака, после запятой, но не более. Для расчета, с такой точностью, значение синуса, в формуле достаточно трех известных слагаемых, а иногда и двух.  Произвести простых четыре перемножения.  Дважды разделить, умножить и отнять.

Если производить действия инженерным калькулятором, становится понятно, что все вышеперечисленные действия, уже запрограммированы в его микросхеме.  

В таблице представлены следующие данные:

• число в квадратной и кубической степени;
• числа квадратных корней;
• логарифмические функции и значение;
• функции тригонометрии, представленный в градусах и радианах;
• обратные функции.

Таблица Брадиса, очень часто применяется в строительных целях. Она имеет большую популярность в инженерном проектировании. Проектирование зданий и сооружений тесно связано с таблицами Брадиса. При разработке проектов, ею пользуются при расчете подпорных стенок. Особенно это актуально при проектировании многоярусных набережных. Для проектирования и расчета сооружений. Например, для уточнения высоты или ширины. Создавая проект, не всегда есть доступ в интернет и поэтому обычный инженерный калькулятор в помощь строителям.  Можно самому рассчитать обычный каркас, изобразить в виде чертежа.  И самостоятельно создать простое, малых параметров сооружение.

Можно определить точность углового значения до минуты. Существуют также таблицы, где есть семизначные значения.

Для того чтобы составить таблицы ученый пользовался методом: разложения функций (либо метод разложения на степень в ряд).

Краткие примеры таблиц Брадиса для определения значений тригонометрических функций

Мы показали , что представляет таблица, какие данные и значения отображает. Полную версию таблицы, можно найти в сборнике. Который издается каждый год. .

Для определения неизвестных нужно использовать следующие уже известные нам формулы:

\[\arcsin \mathrm{a}+\arccos \mathrm{a}=\frac{\pi}{2} \text { и } \operatorname{arctg} \mathrm{a}+\arctan \mathrm{a}=\frac{\pi}{2}\]

Пример решения:

Нужно найти значение котангенс 13 градусов 42 минут.  Снова применим таблицу значения функций и найдем значение 13 градусов, а в строке 40 минут и поправку равную 2.  Находим искомое значение 4,102

Тангенс \[13^{\circ} 42^{\prime}=4,102\]