Сумма и разность синусов и косинусов

Тригонометрические функции, является очень важной составляющей не только математики, но других технических наук.

Применяя основные формулы и законы тригонометрии при вычислении задач. Огромное значение имеют таблицы значений данных функций. Они существенно упрощают решение задач различной сложности.

В математике применяются основные определения, связанные с тригонометрией. А именно:

• синус — соотношение стороны противолежащего катета к стороне гипотенузы, (sin);
• косинус — это прилежащая сторона катет к гипотенузе, обозначается как (cos);

Стоит выделить главные тригонометрические тождества, существующие в математике:

Применим основные формулы тригонометрии, решая задачи.

Пример:

Известно: \[\cos \alpha=0.8\];

Необходимо определить: косинус, тангенс, котангенс, соответствующего угла a.

Решение:

Для определения значения косинуса в квадрате, возводим число 0,8 в квадрат и вычисляем синус. Полученное значение подставляем в формулу и можем определить тангенс угла 0,8. Таким же методом, вычисляем котангенс

Решение довольно простое и особых сложней не вызывает.

Основные формулы для приведения заданных значений:

Формулы помогают, преобразовать основные тождества и перейти к вычислению углов в пределах 90 градусов. Это очень удобно, не только в алгебре, но и во всей математике.

Существует два основных способа, использования формул приведения:

• Если угол можно записать как \[(\pi / 2 \pm \alpha)\] или \[\left(3^{*} \pi / 2 \pm \alpha\right)\], то название функции меняется с  косинуса на определение синус, тангенс, в свою очередь на котангенс, либо наоборот. Если же угол можно представить в виде \[(\pi \pm \alpha)\] или \[(2 * \pi \pm \alpha)\], то название функции не меняется.

• Обозначение приведенного уравнения не изменяется. Если изначально функция была со знаком «+», тогда и приведенная функция будет со знаком «+», с отрицательным знаком тоже самое.

Используя основные определения математики, а именно тригонометрии. Можно определить нужные нам данные.

Значения функций тригонометрии на для основных угловых значений.

• синуса (sin):

• косинуса (cos):

Преобразовав формулы сложения, мы получим тригонометрические уравнения угла.

Формулы кратности значения угла:

Формулы угла, определяющие половину значения (половинного угла):

Более подробно в данном материале мы рассмотрим все уравнения суммы и разности, связанные именно с функцией косинус и синус.

Основные формулы для определения суммы и разности cos и sin

Перейдем к рассмотрению к простой форме разности и суммы функций.

Рассматриваемое уравнений можно представить, как — произведение. Преобразовать на множители косинус или синус, и тем самым упростить процесс вычисления.

Составим и запишем основные формулы для функции синус.

Следующим основным  шагом, будет составить уравнения для косинуса. Применим все изученные свойства данной функции тригонометрии и вычислим правильный ответ.

Выведем основные формулы для решения функций двух угловых значений. Для этого нужно применить составленные выше формулы сложения и вычитания. Их рассмотрение было в предыдущих материалах, посвященных тригонометрии. Поэтому лишний раз не стоит их заново переписывать. Так как рекомендовалась их обязательно заучить наизусть. Для более быстрого и правильного решения уравнений. И для последующего использования при изучении других смежных тем, где эти функции применяются.

Формулы можно представить также в виде полусуммы и полуразности угловых значений и получить следующие формулы.

Запишем уравнение для каждого угла раздельно и получим следующие  формулы в виде уравнения:

Сравним записанные формулы для угловых значений. Проанализировав их становится очевидно, что полученные суммы функций одинаковы по значению.

Выведем основную формулу для решения:

Далее первую часть выражения преобразуем, для этого применим формулу для сложения функций. Значения, которые находятся после знака равно, преобразуются при помощи формулы синуса для разности.

Подставляя в формулу значения, получаем следующее выражение:

Далее необходимо раскрыть скобки и полученные значения привести в подобные слагаемые.  Произведя все действия мы в конечном итоге получаем нужную нам формулу.

Запишем формулу следующего вида:

Другие, формулы преобразуются аналогичным способом

Итоговые формулы сложения и вычитания тригонометрических функций

Формула определения разности для синуса:

Формула для расчета суммы косинуса:

Рассмотрим на практике применение изученного материала. Для этого решим несколько задач, подставляя числовые угловые значения

Пример №1:

По заданию нужно проверить сумму угловых значений для изученной функции подставив данные в формулу.

Заданы значения: \[\alpha=\frac{\pi}{2} ; \beta=\frac{\pi}{6}\].

Подберем нужную формулу и произведем вычисление:

Пример №2:

В этом примере рассмотрим вариант решения и применения формулы, для разности функции синуса.

Заданы следующие значения.

Углы: \[\alpha=165^{\circ}, \beta=75^{\circ}\]

Подставим угловые значения в формулу:

Пример №3:

Нужно найти сумму тригонометрической функции.

Для этого заданы угловые значения.

Применяя основные изученные формулы, решим данную задачу.

Применяя вышеизложенные формулы можно перейти к произведению функций.

В целом, данная тема, считается основой в алгебре. Однако стоит вспомнить, что данные функции имеют главную роль и в других технических науках.

Они встречаются во многих теоремах, особенно это свойственно для физики.

Для всех технических наук, характерна взаимосвязь между основными законами и теоремами. Поэтому для успешного решения задач разного уровня, необходимо изучать и уметь их всех применять на практике.