Таблицы значений синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов

Табличные значения основных тригонометрических формул и функций, их методика расчета

Прежде, чем начать изучение материала, дадим основное определение значению функции.

Тригонометрические функции, является очень важной составляющей не только математики, но других технических наук.

Применяя основные формулы и законы тригонометрии при вычислении задач. Огромное значение имеют таблицы значений данных функций. Они существенно упрощают решение задач различной сложности.

В данном материалы мы изучим, основные значения углов функций, и приведем их табличной форме для удобства использования.

Процесс работы и расчета функций данного вида, очень непростой. Решение задач и уравнение, очень часто вызывают сложности. Поэтому, со временем, были созданы и разработаны несколько видов решений, чтобы облегчить жизнь математика и всем представителям технических наук.

Преобразовывая тригонометрические формулы, необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. Нельзя продумывать весь процесс решения от начала до самого конца сразу. Нужно определиться с основными задачами и данными.
2. Весь пример, подвергать упрощению или преобразования постепенно;
3. Разрешается применять все преобразования и действия, связанные с алгеброй, а именно: вынести значение за пределы скобок. сократить значение и многое другое.

Зная основные определения тригонометрических функций, можно определить их угловые значения.

Для углов от нуля до трехсот шестидесяти градусов, вычислим данные и запишем их в виде таблицы.

Значения вышеупомянутых математических функций, в частности в разделе геометрия, вычисляются как соотношения длин прямоугольного треугольника. Углы геометрической фигуры имеют соответствующие значения в градусах.

Используя основные определения математики, а именно тригонометрии. Можно определить нужные нам данные.

Определим основные значения:

 синуса (sin):

косинуса (cos):

тангенса (tg):

— данные угловые значения, не определяются, согласно основным законам геометрии и математики.

котангенса (ctg):

— для перечисленных угловых значений по законам математики и всех технических наук в целом, значения не определяются

Мы произвели основные расчеты. Определили результаты угловых значений.

Мы определились с основными угловыми значениями функций. Следующим шагом будет их сведение в таблицу.

Таблица1. Основные значения функций косинус, синус, тангенс и котангенс, для угловых значений и радиан

Вычисленные значения принято сводить в таблицу, показанную выше. Особенно рекомендуются, ее заучивать наизусть, для более лучшего восприятия.

Рассмотрим, также значения для нестандартных угловых значений и сведем их в таблицу.2

Таблица 2. Нестандартные углы функций косинус, синус, тангенс и котангенс в тригонометрии.

В данной таблице приведены значения углов. которые считаются нестандартными. также таблица необходима, чтобы облегчить жизнь, в первую очередь, школьной программе.

Например:

Принцип использования таблицы основных значений (примеры задач)

Значение заданной функции берется из таблицы. Оно равняется данному, которое попадает на пересечение столбца и строки.

Пример №1.  Необходимо определить чему равен tg 300^°.

Берем левый столбец с наименованием функции, находим в верхней строке нужный градус, и на пересечении определяем нужный ответ.

Следовательно:

Пример №2. Необходимо определить чему равен Берем левый столбец с наименованием функции, находим в нижней строке значение радиан, поднимается на верх таблицы и определяем градусы.

Следовательно:

Пример №3. Необходимо определить чему равен

Проводим аналогичные действия, как в предыдущих двух примерах и определяем угловое значение.

Следовательно:

Таблица Брадиса для решения основных задач по тригонометрии и ее преимущество

Первое упоминание о таблице, датируется 20-ми годами прошлого века. Основоположником, является советский ученый математик, и талантливый педагог Владимир Брадис.   

Созданная Брадисом таблица, позволяет определить значения тригонометрических функций, с большой точностью, а именно до четырех знаков.

На практике решений, обычно требуется точность в три-четыре знака, после запятой, но не более. Для расчета, с такой точностью, значение синуса, в формуле достаточно трех известных слагаемых, а иногда и двух.  Произвести простых четыре перемножения.  Дважды разделить, умножить и отнять.

Если производить действия инженерным калькулятором, становится понятно, что все вышеперечисленные действия, уже запрограммированы в его микросхеме.  

В таблице представлены следующие данные:

• число в квадратной и кубической степени;
• числа квадратных корней;
• логарифмические функции и значение;
• функции тригонометрии, представленный в градусах и радианах;
• обратные функции.

Можно определить точность углового значения до минуты. Существуют также таблицы, где есть семизначные значения.

Для того чтобы составить таблицы ученый пользовался методом: разложения функций (либо метод разложения на степень в ряд)

Таблица Брадиса для функций синус и косинус а также тангенс и котангенс:

Мы показали, что представляет таблица, какие данные и значения отображает. Полную версию таблицы, можно найти в сборнике. Который издается каждый год.

Принцип работы таблицы Брадиса, основные правила использования

Таблица, при расчетах, заменяет обычный инженерный калькулятор. Чем очень упрощает сам процессы работы и изучения.

Работа с косинусами и синусами, заключается в следующем: все данные которые относятся к синусам, располагаются вверху и с левой стороны таблицы. Чтобы найти угол, нужно взять ячейку, которая расположена в месте, пересечения строк и столбцов. Где и написаны градусы и необходимое количество в минутах.

Когда требуется нахождение синуса угла больше, чем девяносто градусов. Для этого используются формулы приведения. Произведя расчет по данным формулам, далее применяется таблица Брадиса.

Существует также такое понятие, как поправка. Когда мы ее используем? Если нужно определить значение угла которого нет в таблице. Сами поправки расположены в крайне части таблицы, справа. Они обозначаются в минутах.

Поправка, является неотъемлемой частью при расчетах углов и радиан. При расчете угла синуса, который отсутствует в таблице. Применяется самое близкое к нему значение и затем плюсуется или отнимается нужная поправка. Она берется в зависимости от разницы между углами.

Принцип работы остальных функций, является аналогичным. все правила действуют такие же. Различие, только самой поправке, а именно в ее знаке.

В математике есть правила знаков, для разных функций:

• для синуса, при расчете — положительный;
• для косинуса, поправка является отрицательной.

В приведенной таблице основных функций, имеются значения от 0 градусов до 90 градусов. Если у нас в результате вычислений получилось число, например, синус определенного четырехзначного числа. Находим на пересечении строк синус и косинус необходимого градуса.  Затем в нужной строчку определяем количество минут. Например, это 30 °. Таким образом получаем угол 46 градусов и 30 минут, к примеру.

Когда необходимо сделать обратную операцию угол 22° и 10′. Определяем неизвестное значение в радианах. Находим значение в таблице 22 ° и 12 минут или близкое к нему значение. Это данное равно 0,3778. Если найти разницу между 12 минутами и 10 минутами, получается поправка в 2 минуты. Напротив, 22 градусов находим вычисленную поправку. Которая равняется 0, 0005.  Поправка отнимается, потому что значение больше чем определяемое. 3778-0,0005=0, 3773. Подставляем в формулу полученное число. Косинус вычисляем таким же образом.

К примеру, нам нужно найти косинус 50 ° 31′.

Определяем в таблице ближайшее значение – это будет число 0,6361. Находим поправку равную 0, 0002. Она будет иметь отрицательное значение, то есть косинус 50°, 31 ′будет равен cos 50 °, 30 ′плюс поправка в одну минуту. Если выражении записать в виде чисел получим следующую запись: 0,6361+(-0,0002) = 0, 6359. Если нужно перевести в градусы, проводим аналогичные действия. Аналогично рассчитываются и иные функции, по той методике, с применением всех вышеуказанных характеристик.

Инженерное строительство и применение данных таблиц

Таблица Брадиса, очень часто применяется в строительных целях. Она имеет большую популярность в инженерном проектировании. Проектирование зданий и сооружений тесно связано с таблицами Брадиса. ПриВычисление углов значений можно произвести и по окружности. разработке проектов, ею пользуются при расчете подпорных стенок. Особенно это актуально при проектировании многоярусных набережных. Для проектирования и расчета сооружений. Например, для уточнения высоты или ширины. Создавая проект, не всегда есть доступ в интернет и поэтому обычный инженерный калькулятор в помощь строителям.  Можно самому рассчитать обычный каркас, изобразить в виде чертежа.  И самостоятельно создать простое, малых параметров сооружение.

Рассмотрим более подробно, на конкретных примерах, применение данной таблицы:

Пример 1:

Необходимо определить синус угла 18 ° 44 ‘.

По таблице значений определяем данные синуса 18 ° 42 ‘. Далее используем поправку, равную две минуты. Плюсуем ее и заданные минуты: 18 ° 44 ‘ − 18 ° 42 ‘ = 2 ‘   

Нужное значение равняется —  0,0006.

Узнав все необходимые значения, находим окончательное решение:

 sin   18 ° 44 ‘ = 0. 3208 + 0. 0006 = 0. 3214

Пример 2:

Условие задачи, заключается в необходимости вычислить угол функции синус 76°12 В таблице находим столбец с название угол и ищем 76 градусов и строку со значением 12. Далее, исходя из найденных ячеек, находим значение угла — 0,2284.

Ответ: синус 7612=0,2284.

Пример 3:

Нужно найти значение синус 16 градусов 32 минут.  Для того, чтобы посчитать значение 16°32 минуты. В таблице находим значение нужного угла, которое ближе всего по значению подходит к заданному.

Это sin16 30 = 0.2840. Так как 16 32=16 30+2, то в столбце, выбираем нужную поправку, которая находится на пересечении со строкой, со значением 16 градусов стоит 0,0006, то есть sin   16 ° 32 ‘ = 0. 3208 + 0. 0006 = 0. 3214

Пример 4:

Нужно найти значение синус 22 градусов 10 минут.  Для того, чтобы посчитать значение 22°12,  в таблице найдем значение необходимого угла, наиболее подходящее заданному. Это sin16 30 =0.3778. Так как 22° 10=22°12+2, то тогда выбираем поправку равную двум  и видим,что нужный нам градус равный 22° имеет значение 0,0005. Далее записываем:

 sin   22 ° 10 ‘ = (22 12-2) =0. 3778 + 0. 0005 = 0. 3773

Пример 5:

Нужно найти значение косинус 50 градусов 33 минут.  Для того, чтобы посчитать значение 53 31 в таблице найдем значение нужного угла, наиболее близкого к искомому со знаком минус. Это косинус 50 33 =0.6361 Так как 50 33=50 30+3, то в нужном столбце выбираем значение 3. Далее находим значение 0,0007, и записываем следующее уравнение:

косинус 50 ° 33 ‘ = (50 30-3) =0. 6361 +(- 0. 0007) = 0. 6454

Пример 6:

Нужно найти tg 35 градусов 6 минут.  В таблице значений функции, в столбце найдем значение 35 градусов, а в строке 6 минут. Определяем нужное значение по таблице равное 0,7028. тангенс   36° 6 ‘=0,7028

Пример 7:

Нужно найти значение котангенс 13 градусов 42 минут.  Снова применим таблицу значения функций и найдем значение 13 градусов, а в строке 40 минут и поправку равную 2.  Находим искомое значение 4,102

Тангенс  13°42′  =4,102

Пример 8:

Нужно найти значение косинус для 49°33 минут. Для того, чтобы вычислить  значение 49°31.  В таблице найдем значение угла, наиболее близкого по значению к заданному, но только с отрицательным знаком минус. Это косинус 49°33/ =0.6361 Так как 49°33/=50 30+3, из этого следует,что поправка  равняется  трем. Значение  49 градусов равно 0,0007, поэтому: косинус 49 ° 33 ‘ = ( 49°33-3) =0 . 6361 +(- 0. 0007) = 0,6454

Основные способы, которые помогут заполнить таблицу функций тригонометрии:

1. Действие: Необходимо изобразить простую таблицу, где будет несколько столбцов и строк, необходимых для заполнения данных. Следующая задача, состоит в том, что нужно пустые графы заполнить. Записываем в первом столбике значение математических функций, ранее нами изученных. В начальной строке, должны отображаться самые часто используемые значения углов: от нуля до девяноста градусов и так далее. Оставшиеся ячейки нужно оставить незаполненными, для следующих действий. Чтобы понять тригонометрию, нужно изучать не только основные функции. Стоит уделить внимание и таким функциях как: косеканс (cosec) и секанс(sec).

2. Действие: Заполняем пустые ячейкм со значение синус. Берем выражение  и подставляем числовые значения, то есть величины углов. они записаны в первом столбике. Далее применяя    можно вычислить данные для углов, которые нам необходимы. Вычисленные значения, записываются в таблицу.

Для наглядности все прописанные действия, можно разобрать на конкретном примере. Например, мы заполняем ячейку sin 0 градусов. На месте неизвестного значения в выражении  записываем значение угла.  Получаем следующую запись:  Затем, проводим те же операции для заполнения оставшихся пустых строк.

Необходимо первым делом заполнять неизвестные ячейки, для функции синус. Это значительно в будущем облегчит заполнение всей таблицы. Так как именно за данной функции и ее данных и завязана вся работы таблицы.

3. Действие: Продолжаем считать таблицу. для этого значения синуса, которые подсчитаны были ранее, переписываем для функции косинус. Только делаем это в порядке обратном значению синусу. Данная теория действительна, потому что sin x° = cos (90-x). Если в самой крайней ячейке синус, имеется  1(sin90°=1). То в первую строку значения косинус, перепишется это числовое значение, cos 0° = 1. Таким образом заканчиваем заполнение до конца.

4. Действие: Для определения тангенса. Необходимо произвести деление данных синуса на косинус. Так как тангенс равен данной функции. Выходим что искомое значение равно данному выражению.  Если . Аналогично поступаем и далее.

5. Действие: Для заполнения граф косеканс и секанс нужно 1/sin и 1/cos. Так как ,

6. Действие: Оставшиеся функции тангенс и котангенс также записываются обратно значениям. Если tg90 равняется ctg0, значение tg60 будет соответственно равен значению ctg 30 градусов.

Таким же методом заполняются оставшиеся строки таблицы. Так как

Вычислить данные можно при помощи фигуры — прямоугольный треугольник. Для этого строится нужный треугольник заданным углом, который необходимо определить. Строится угол, точка и луч, которые выходят из данной точки под определенным углом. Соединяем лучи, прямой линией перпендикулярной, одному из лучей. В конечном итоге получаем фигуру, угол которой равняется заданному в задаче углу. В процессе вычисления, также задаются длины сторон. Поэтому трудней с построением не должно возникнуть.  

Вычисление при помощи длин сторон треугольника происходит следующим образом:

• обозначается катет;
• сторона возле угла;
• сторона напротив угла с прямым значением.

Функции могут выражаться по-разному в отношении сторон.

Например, нам нужно определим значение sin 45°. Поделим имеющуюся длину значения противолежащего катета на значение длины гипотенузы. Если заданные значения длины равны 4 и 6 соответственно. Тогда, составим следующее выражение и получим

Для определения значений основных функций в математике, необходимо заучить наизусть определение основных понятий, связанный с данной темой.  В процессе решения задачи это придется применять постоянно.

Значения косеканса и секанса определяются в обратном порядке. Для этого необходимо знать какие стороны нужно делить для определения вышеперечисленных функций.

Косеканс находится , следовательно нужно разделить гипотенузу на противолежащий катет. Секанс, наоборот к прилежащему катету

Например, для определения cosec 40°, если катет равен 5, а гипотенуза соответственно равна 8.  Нужно разделить 5/8 и получим ответ cosec 40° = 0,63. При вычислениях всегда рекомендуется исключать значение под корнем в знаменателе, это наиболее облегчает процесс расчета.

Рассмотренная тема преобразования и расчета функций, является довольно громоздкой, на первый взгляд. Применяя для решения огромные формулы и функции можно растеряться и не сразу сообразить, как производить их расчет. Однако досконально рассмотрев и изучив каждый раздел, становится понятно, что все достаточно просто и громоздкие таблицы освоить можно быстро и легко.

Вычисление углов значений можно произвести и по окружности. Самый простой и понятный способ для вычисления углов и радиан. Для этого вычерчиваем окружность с радиусом R. Он в свою очередь, равен единичному значению. Центр окружности равен центру системы координат. От положительной оси считаем углы, по часовой стрелке, выполняющей движении против хода.  

Точка, имеющая координаты 1;0 равняется угловому значению ноль. если координаты -1;0, тогда угол равен 90 градусов. Точка, находящаяся на окружности, соответствует углу от нуля до 360 градусов.

 Так как окружность является единичной, значения углов для синуса и косинуса находятся в пределах от -1 до 1:

Определяются знаки функций, также по окружности. если угловое значение более 360 градусов, делается два оборота по часовой стрелке и плюсуется еще дополнительно 12 минут.

cos (a + 360 * n)=sin a

sin (a + 360*n)=sin a/ Значения тангенсов и котангенсов, можно вычислить аналогично, по окружности. Однако легче посчитать по формулам, уже известных данных.