Тангенс угла, примеры решения задач

В математике применяются основные определения, связанные с тригонометрией. А именно:

• синус — соотношение стороны противолежащего катета к стороне гипотенузы, (sin);
• косинус — это прилежащая сторона катет к гипотенузе, обозначается как (cos);
• тангенс — отношение стороны противолежащего катета к стороне прилежащего, (tg или tan);
• котангенс — отношение прилежащей стороны катета к противолежащей (это значение, обратное значению тангенса), обозначается как (ctg или cot).

Рассмотрим подробнее значение функции тангенс.

Определение значения тангенса угла 30…360 градусов

Угловые значения tan 90°, 270° — не имеет значения и не определяются, согласно основным законам геометрии и математики.

Таблица 1. Определение угловых значений тангенса.

α	0°	30°	45°	60°	90°	120°
tanα	0	\[\frac{\sqrt{3}}{3}\]	1	\[\sqrt{3}\]	не определяется	\[-\sqrt{3}\]
радиан	0	\[\frac{\pi}{6}\]	\[\frac{\pi}{4}\]	\[\frac{\pi}{3}\]	\[\frac{\pi}{2}\]	\[\frac{2 \pi}{3}\]

Продолжение таблицы 1.

α	135°	150°	180°	210°	225°	240°
tanα	-1	\[-\frac{\sqrt{3}}{3}\]	0	\[\frac{\sqrt{3}}{3}\]	1	\[\sqrt{3}\]
радиан	\[\frac{3 \pi}{4}\]	\[\frac{5 \pi}{6}\]	π	\[\frac{7 \pi}{6}\]	\[\frac{5 \pi}{4}\]	\[\frac{4 \pi}{3}\]

Продолжение таблицы 1.

α	270°	300°	315°	330°	360°
tanα	—	\[-\sqrt{3}\]	-1	\[\frac{\sqrt{3}}{3}\]	0
радиан	\[\frac{3 \pi}{2}\]	\[\frac{5 \pi}{3}\]	\[\frac{7 \pi}{4}\]	\[\frac{11 \pi}{6}\]	2π

Вычисленные значения принято сводить в таблицу, показанную выше. Особенно рекомендуются, ее заучивать наизусть, для лучшего восприятия.

Рассмотрим, также значения для нестандартных угловых значений и сведем их в таблицу 2.

Таблица 2. Нестандартные углы функции тангенс.

угол	π/12=15	π/10=18	π/8=22,5	π/5=36	3π/10=54	3π/8=67,5	2π/5=72
tan	\[2-\sqrt{3}\]	\[\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}\]	\[\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\]	\[\sqrt{5-2 \sqrt{5}}\]	\[\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}\]	\[\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}\]	\[\sqrt{5+2 \sqrt{5}}\]

Принцип использования таблицы основных значений при решении задач

Значение заданной функции берется из таблицы. Оно равняется данному, которое попадает на пересечение столбца и строки.

Пример №1.

Необходимо определить чему равен tan 300°.

Берем левый столбец с наименованием функции, находим в верхней строке нужный градус, и на пересечении определяем нужный ответ.

Следовательно: \[\tan 300^{\circ}=-\sqrt{3}\].

Пример №2.

Нужно найти tan 35° 6′.

В таблице значений функции, в столбце найдем значение 35 градусов, а в строке 6 минут. Определяем нужное значение по таблице равное 0,7028.

Тангенс \[35^{\circ} 6^{\prime}=0.7028\].

Пример №3.

Необходимо определить чему равен tan 180°.

Берем левый столбец с наименованием функции, находим в верхней строке нужный градус, и на пересечении определяем нужный ответ.

Следовательно: \[\tan 300^{\circ}=-\sqrt{3}\].

Определение тангенса угла прямоугольного треугольника

Для этого строится нужный треугольник заданным углом, который необходимо определить.

Строится угол, точка и луч, которые выходят из данной точки под определенным углом. Соединяем лучи, прямой линией перпендикулярной, одному из лучей. В конечном итоге получаем фигуру, угол которой равняется заданному в задаче углу. В процессе вычисления, также задаются длины сторон. Поэтому трудней с построением не должно возникнуть.

Вычисление при помощи длин сторон треугольника происходит следующим образом:

• обозначается катет;
• сторона возле угла;
• сторона напротив угла с прямым значением.

Функции могут выражаться по-разному в отношении сторон.

Основные тригонометрические тождества, формулы приведения

Формулы помогают, преобразовать основные тождества и перейти к вычислению углов в пределах 90 градусов. Это очень удобно, не только в алгебре, но и во всей математике.

Существует два основных способа, использования формул приведения:

• Если угол можно записать как (π/2±α) или (3*π/2 ±α), то название функции меняется с косинуса на определение синус, тангенс, в свою очередь на котангенс, либо наоборот. Если же угол можно представить в виде (π±α) или (2*π±α), то название функции не меняется.
• Обозначение приведенного уравнения не изменяется. Если изначально функция была со знаком «+», тогда и приведенная функция будет со знаком «+», с отрицательным знаком тоже самое.

Сложение функции тангенс:

Формулы кратности значения угла:

Формулы угла, определяющие половину значения (половинного угла):

Универсальное использование тригонометрических функций.

Все изученные математические уравнения в тригонометрии — синус, косинус, тангенс и котангенс — имеют свойство выражаться через тангенс (tg) половинного угла.