Геометрическая фигура угол: определение угла, измерение углов, обозначения и примеры

Все геометрические фигуры состоят из точек, линий, лучей и плоской поверхности. Когда две линии или лучи сходятся в одной точке, измерение между двумя линиями называется углом. В этой статье мы собираемся обсудить, что такое угол, каковы различные типы углов и их значение с примерами.

Определение угла в математике

Угол, лежащий в плоскости, не обязательно должен лежать в евклидовом пространстве. В случае, если углы образованы пересечением двух плоскостей в евклидовом или другом пространстве, такие углы считаются двугранными.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол (А, В).

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи (О).

Угол делит плоскость на две части. Если угол не развернутый, то одна часть плоскости называется областью внутреннего угла, а другая часть называется областью внешнего угла. Ниже приведена картинка, поясняющая, какие части являются внешними, а какие внутренними.

Если углы измеряются по линии, мы можем найти два разных типа углов, например, положительный угол и отрицательный угол.

• Положительный угол: если угол идет против часовой стрелки, то он называется положительным углом.
• Отрицательный угол: если угол направлен по часовой стрелке, то он называется отрицательным углом.

Как обозначить углы?

Фигура угол отмечается символом «∠». Есть два разных способа обозначения углов:

• Способ 1:
  Как правило, угол обозначается строчными буквами, такими как «а», «х» и т. д., или греческими буквами альфа (α), бета (β), тэта (θ) и т. д.
  
• Способ 2:
  Используя три буквы на фигурах. Средняя буква должна быть вершиной (фактический угол).
  Например, ABC — треугольник. Чтобы представить угол A равным 60 градусам, мы можем определить его как ∠BAC = 60 °.

Ряд углов образуется при пересечении секущей двух или более прямых. Конкретные названия даны паре углов, что зависит от расположения угла по отношению к прямым. Линии могут быть как параллельными, так и непараллельными.

Углы образованные при пересечении двух прямых

При пересечении двух прямых образуются два вида углов:

• смежные;
• вертикальные.

Смежные углы

Свойства смежных углов

1. Сумма смежных углов равна 180°
2. Если оба смежных угла равны между собой, то они являются прямыми.
3. В паре смежных углов всегда один острый, а другой тупой, или оба угла прямые.
4. Синусы смежных углов равны.
5. Косинусы, тангенсы и котангенсы смежных углов равны, но имеют противоположный знак.

Вертикальные углы

Свойство: вертикальные углы равны.

Пример:

Пары углов 1 и 3; 2 и 4 – являются вертикальными

По свойству вертикальных углов:

\[\angle C O D=\angle A O B\]

\[\angle B O D=\angle A O C\]

Пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1 — являются смежными

По свойству смежных углов:

\[\angle C O D+\angle D O B=180^{\circ}\]

\[\angle D O B+\angle B O A=180^{\circ}\]

\[\angle B O A+\angle A O C=180^{\circ}\]

\[\angle A O C+\angle C O D=180^{\circ}\]

---

Смежные углы	Вертикальные углы
Два угла с общей стороной и вершиной называются смежными.	Когда две прямые пересекаются друг с другом, то пары противоположных углов, образованных при вершине, называются вертикальными углами.
Имеют общую сторону и общую вершину.	Имеют общую вершину, но не имеют общую сторону
Смежные углы не всегда равны по величине	Вертикально противоположные углы равны по величине

Сравнение углов

Для сравнения углов можно использовать простейший метод — метод наложения. Для этого нужно совместить две вершины и сторону одного угла со стороной другого. Если стороны данных углов совпадают, то углы равны. В противном случае угол, который находится внутри другого, будет меньше. Вот два наглядных примера с равными и неравными углами:

\[\angle A_{1} O_{1} B_{1}\] и \[\angle A_{2} O_{2} B_{2}\] полностью совмещаются при наложении следовательно: \[\angle A_{1} O_{1} B_{1}=\angle A_{2} O_{2} B_{2}\]

\[\angle A_{1} O_{1} B_{1}\] и \[ \angle A_{2} O_{2} B_{2}\] не совмещаются при наложении: \[\angle A_{1} O_{1} B_{1} \neq \angle A_{2} O_{2} B_{2}\]

Причем: \[\angle A_{1} O_{1} B_{1}<\angle A_{2} O_{2} B_{2}\]

При этом развернутые углы всегда являются равными.

Совмещение углов \[\angle A B C\] и \[\angle M N K\] происходит следующим образом:

1. Вершину B одного угла совмещаем с вершиной N другого угла.
2. Сторону BA одного угла накладываем на сторону NM другого угла так, чтобы стороны BC и NK располагались в одном направлении.

Если совпадут и другие стороны, то углы равны: ∠ABC = ∠MNK.

Если нет, то один угол — меньше другого: ∠ABC<∠MNK.

Измерение углов

Существует несколько единиц измерения углов. Рассмотрим наиболее часто используемые единицы измерения:

Градусная мера

Полный оборот, т. е. когда начальная и конечная стороны находятся в одном и том же положении после вращения по часовой стрелке или против часовой стрелки, делится на 360 единиц, называемых градусами. Итак, если поворот от начальной стороны к конечной стороне составляет \[\left(\frac{1}{360}\right)\] оборота, то говорят, что угол имеет меру в один градус. Обозначается как 1°.

Мы измеряем время в часах, минутах и ​​секундах, где 1 час = 60 минут, а 1 минута = 60 секунд. Точно так же при измерении углов

• 1 градус = 60 минут, обозначаемый как 1° = 60′.
• 1 минута = 60 секунд, обозначаемая как 1 ′ = 60 ″.

Радианная мера

Радианная мера немного сложнее, чем градусная. Представьте круг с радиусом 1 единица. Далее представьте дугу окружности длиной 1 единицу. Угол, образуемый этой дугой в центре окружности, имеет меру 1 радиан. Вот как это выглядит:

Вот еще несколько примеров углов: -1 радиан, радиан, \[1 \frac{1}{2}\] радиан, \[-1 \frac{1}{2}\] радиан.

Длина окружности = \[2 \pi r \ldots\] где r — радиус окружности. Следовательно, для круга с радиусом 1 единица длины окружности равна \[2 \pi\]. Следовательно, один полный оборот начальной стороны образует в центре угол \[2 \pi\] радиан. Обобщая это, имеем:

В окружности радиуса r дуга длины r образует угол в 1 радиан в центре. Следовательно, в окружности радиуса r дуга длины l будет опираться на угол = \[\frac{l}{r}\] радиан. Обобщая это, мы имеем в окружности радиуса r, если дуга длины l образует угол θ радиан в центре, то:

\[\theta=\frac{l}{r}\]

\[l=r \theta\]

Связь между степенью и радианными мерами

По определениям степени и радиана мы знаем, что угол, образуемый окружностью в центре, равен:

• 360° – по градусной мере
• \[2 \pi\] радиан — в радианах

Следовательно, \[2 \pi\] радиан = 360° ⇒ \[\pi\] радиан = 180°. Теперь подставим приблизительное значение \[\pi\] как \[\frac{22}{7}\] в уравнении выше и получить, 1 радиан \[\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime}\]. Кроме того, \[1^{0}=\frac{\pi}{180^{\circ}}\] радиан = 0,01746 радиан примерно. Ниже таблица, изображающая соотношение между градусами и радианами некоторых распространенных углов:

Градусы	\[30^{\circ}\]	\[45^{\circ}\]	\[60^{\circ}\]	\[90^{\circ}\]	\[180^{\circ}\]	\[270^{\circ}\]	\[360^{\circ}\]
Радианы	\[\frac{\pi}{6}\]	\[\frac{\pi}{4}\]	\[\frac{\pi}{3}\]	\[\frac{\pi}{2}\]	\[\pi\]	\[\frac{3\pi}{2}\]	\[2\pi\]

Пример

Преобразуйте 40° 20′ в радианы.

Решение: мы знаем, что 1° = 60′, следовательно, 20′ = \[\frac{1^{0}}{3}\].

Следовательно,

\[40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}=\frac{121}{3}\];

Кроме того, мы знаем, что

радианная мера = \[\frac{\pi}{180^{0}} x\] градусную меру

Следовательно, радианная мера \[40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}=\frac{121 \pi}{540}\] радиан.

Как измерить угол?

Для измерения углов используется транспортир:

Попробуем измерить угол \[\angle A O B\]

Шаги для измерения угла \[\angle \mathrm{AOB}\].

Шаг 1: совместите транспортир с лучом OB, как показано ниже. Начните чтение с отметки 0 ° в правом нижнем углу транспортира.

Шаг 2: Число на транспортире, совпадающее со вторым лучом, является мерой угла. Измерьте угол, используя число на «нижней дуге» транспортира. Таким образом, ∠ AOB = 37°

---

Далее попробуем измерить этот ∠AOC:

Шаг 1: Измерьте угол от отметки 0° в левом нижнем углу.

Шаг 2: Число на «верхней дуге» транспортира, совпадающее с OA, является мерой ∠ AOC. Таким образом, ∠ AOC = 143°

Как построить углы

Используем транспортир для построения углов. Нарисуем угол 50°.

Шаг 1: сначала нарисуйте луч OB и совместите транспортир с OB, как показано.

Шаг 2: поместите точку над отметкой на транспортире, которая соответствует 50°.

Шаг 3: Уберите транспортир и нарисуйте луч, начинающийся в точке О и проходящий через эту точку. Таким образом, ∠AOB – искомый угол, т.е. ∠AOB = 50°.

Примечание. Если луч идет в другом направлении, мы измеряем угол от отметки 0° в левом нижнем углу.

На изображении ниже показано, как нарисовать угол 50°, когда луч указывает в другом направлении.

Обозначение углов на чертеже

Для комфортного отображения дуг, углов применяют чертежи. Не всегда возможно грамотно изобразить и обозначить тот или другой угол, дугу или наименование. Равные углы имеют определение в виде идентичного числа дуг, а неравноценные в виде различного.

На чертеже запечатлено корректное обозначение острых, равных и неравных углов.

Если нужно обозначить более трех углов, то применяются специальные обозначения дуг, например, зубчатые или волнистые, но в принципе это не имеет особого значения.

Обозначение углов должно быть простым, чтобы не препятствовать иным значениям. При решении задачи рекомендовано обозначать только нужные для решения углы, чтобы не перегружать весь чертеж. Это не помешает решению задачи, а также придаст эстетичный облик чертежу.