Компланарные векторы и условие компланарности

Коллинеарные и компланарные векторы: основные определения

Сформулируем и запишем основные определения по данной теме.

Компланарность характерна всегда двум любым, на выбор, векторам. Так как всегда можно вычистить плоскость, которой будет параллельны произвольные вектора.  

Выведем основное правило признака копланарности вектора. При условии, что два вектора \[\bar{a} \text { и } \bar{b}\] не характеризуются как календарные, а для вектора  \[\bar{c}\] свойственны только одна пара чисел x и y. \[\Rightarrow \bar{c}=x \cdot a+y \cdot b\]. Если соблюдаются данные условия, то перечисленные векторы можно назвать компланарными.

Обратное утверждение компланарности.

Когда вектора \[\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}\] — компланарны, при этом  \[\bar{a}, \bar{b}\] не относятся к коллинеарным. можно вектор \[\bar{c}\] разложить по двум любым векторам, только одним способом.

Главные условия и класс компланарности векторов

1. Если произведение трех векторов равно нулевому значению. Данные вектора можно характеризовать как компланарные.
2. Когда три любых вектора независимы друг от друга, то они будут компланарными.
3. Когда задано несколько векторов, выполняется условие: компланарность будет характерна, для двух любых векторов, если они линейно друг от друга зависимы.

Примеры решения задач, для определения компланарности заданных векторов

Для более лучшего восприятия материала, необходимо применить правила компланарности и коллинеарности при решении практических задач. Для этого решим, и подробно распишем три конкретных примера.

Пример №1:

В условии задачи даны три вектора со следующими числовыми значениями.

\[\bar{a}(1,2,3)\];

\[\bar{b}(1,1,1)\];

\[\bar{c}(1,2,1)\].

При условии, что произведение векторов будет равняться нулевому значению, можно сделать вывод о компланарности векторов.

Определяем произведение заданных значений.

Запишем все значения в виде матрицы и решим ее, применяя правила произведения и разности чисел.

Так как окончательный ответ не равен нулю, а равен значению два. Следует, что вектора не являются компланарными.

Пример №2:

Заданы три вектора с положительными и отрицательными значениями. Необходимо составить и решить матрицу чисел.

\[\bar{a}(1,-1,2)\];

\[\bar{b}(0,1,-1)\];

\[\bar{c}(2,-2,4)\].

Для решения задачи, нужно вычислить произведение значений векторов.

Выполнив все действия по вычислению произведения данных, мы видим, что ответ уравнения равен нулю.

Согласно основному правило компланарности, можно сделать вывод, что вектора ему соответствую. То есть являются компланарными между собой.

Пример №3:

Запишем четыре вектора, со следующими значениями.

Проверим, компланарны ли векторы \[\bar {a}\] = { 1 ; 1 ; 1 } , \[\bar {b}\] = { 1 ; 2 ; 0 ) , \[\bar {c}\] = { 0 ; − 1 ; 1 } , \[\bar {d}\] { 3 ; 3 ; 3 } .

Начинаем решение примера с преобразования заданных значений и записи их в виде матрицы.

(1    1    1)

(1    2     0)

(0 — 1 1)

(3    3     3)

Далее находим разность между второй и первой строки. Первую умножаем на третью и находим разность полученных значений и четвертой строки. 

(1       1        1)    (1      1       1)

(1-1  2-1   0-1)    (0      1 -1)

(0        -1   1)    (0 -1       1)

(3-3   3-3    3-3)   (0    0      0)

Следующим шагом решения будет сумма третьей и второй строки матрицы.

Составим и запишем следующую матрицу:

(1         1      1)   (1   1    1)

(0         1     -1) — (0   1 (-1))

(0+0  (-1)+1 1+(-1))   ( 0  0    0)

(3-3       3-3      3-3)     (0   0    0)

Проанализировав записанную матрицу, можно сказать, что в ней только две строки с нулевым значением. Следовательно, только два вектора будут компланарны, а остальные нет.