Нахождение координат вектора через координаты точек

Вектор, имеющий начальную точку А и конечную точку В, обозначается \[\overrightarrow{A B}\](рис. 1).

Правило нахождения координат вектора

Отложим от начала системы координат два единичных вектора, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора \[\bar{i}\] должно совпадать с осью \[O x\], а направление вектора \[\bar{j}\] с осью \[O y\].

Векторы  \[\bar{i}, \bar{j}\] — рассматриваемые векторы называются векторами координат или ортами. Эти векторы образуют базис поверхности. Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости.

Обозначение: базис обычно пишется в круглых скобках, внутри которых в строгом порядке перечисляются векторы.

Любой вектор плоскости выражается по формуле нахождения координат вектора:

Где числа в этом базисе называются векторными координатами. Но само выражение называется векторным разложением.

Как выразить вектор через его координаты

Чтобы выразить вектор \[\overrightarrow{A B}(a, b)\], где \[A\left(x_{1} ; y_{1}\right)\], а \[B\left(x_{2} ; y_{2}\right)\], сначала вычислим разницу между абсциссами \[x\], чтобы получить \[a\], затем вычислим разницу между ординатами \[y\], чтобы получить \[b\]:

---

Пример 1 

Найти координаты \[\overrightarrow{A B}\] при значении координат точек \[A(3 ; 2), B(6 ; 9)\].

Решение:

Горизонтальное расстояние равно разнице между абсциссами \[x\], т.е. 6−3=3. Вертикальное расстояние равно разнице между ординатами \[y\], где 9−2=7.

Поэтому мы можем обозначить вектор от А до В как:

Нахождение координат вектора в пространстве

Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь все почти так же, как на плоскости, но будет добавлена ​​только одна дополнительная координата.

Любой вектор в пространстве выражается следующим образом:

\[\vec{v}=v_{1} \cdot \vec{i}+v_{2} \cdot \vec{j}+v_{3} \cdot \vec{k}\], где координаты вектора (числа) в заданном базисе.

---

Пример 2

Нужно найти вектор, соединяющий точку А (начало) с координатами (4, 5, 6) с точкой В (конец) с координатами (10, 11, 12).

Решение:

Вектор направлен из точки А в точку В и может быть обозначен как \[\overrightarrow{A B}\]. Таким образом:

Как записать вектор на основе единичных векторов

Если мы перейдем от начальной точки к конечной точке \[C\left(x_{y} ; y_{1}\right) D\left(x_{2} ; y_{2}\right)\], это описывает вектор, который представляет собой смещение на расстояние в направлении \[\overrightarrow{C D}\left(x_{2}-x_{1}\right) x\] затем с расстояния в направлении \[\left(y_{2}-y_{1}\right) y\].

Мы можем обозначить этот вектор двумя способами:

\[\overrightarrow{C D}=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}\right)\] или \[\overrightarrow{C D}=\left(x_{2}-x_{1}\right) i+\left(y_{2}-y_{1}\right) \vec{j}\]

---

Пример 3

Выразить вектор в виде суммы единичных векторов.

Зная, что каждый квадрат сетки имеет длину 1, представим вектор \[\overrightarrow{A B}\] как \[a \vec{i}+b \vec{j}\].

Решение:

Из точки \[A\](начало), мы перемещаем единицы в горизонтальном направлении (которое представляет собой вектор), затем мы перемещаем единицы в вертикальном направлении (что представляет собой вектор), чтобы перейти к точке \[B+2(2 \vec{i}) u+3(3 \vec{j})\].

Вектор \[\overrightarrow{A B}\] что представляет собой прямое движение от \[A\] к \[B\] , тогда равна сумме этих единичных векторов.

Как результат: \[\overrightarrow{A B}=2 \vec{i}+3 \vec{j}=(2,3)\].

Использование векторов и позволяет описать вектор в соответствии с количеством шагов по горизонтали и вертикали длиной 1, которые необходимо сделать, чтобы пройти от начала до конца. Обратите внимание, что отрицательные коэффициенты представляют движение влево или вниз соответственно.

Например, приведенный выше вектор, представляющий смещение на -2 единицы в направлении и на -3 единицы в направлении \[\overrightarrow{A B}=(-2 ;-3) x y\] или \[(-2 \vec{i})+(-3 \vec{j})\].

Координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка начала вектора не совпадает с началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. На оси \[O_{x y}\] заданы координаты точек вектора, где \[A\left(x_{a} ; y_{a}\right)\] и \[B\left(x_{b} y_{b}\right)\]. Найти координаты \[\overrightarrow{A B}\].

Зная формулу сложения векторов, имеем \[\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}\], следует: \[\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}\].

\[\overrightarrow{O A}\] и \[\overrightarrow{O B}\] радиус-векторы точек А и В, следовательно, координаты точек: \[\overrightarrow{O A}=\left(x_{a}, y_{a}\right), \overrightarrow{O B}=\left(x_{b} ; y_{b}\right)\].