Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

Умение правильно раскрывать скобки в математических выражениях – это залог их правильного решения. Рассмотрим подробнее, что диктуют правила математики, и как их использовать на примерах.

Что представляет собой раскрытие скобок

С помощью скобок принято определять порядок действий в числовых  и буквенных выражениях. Встречаются они и в примерах с переменными. Тем, кому приходилось решать такие примеры, знают, что от выражения в скобках легко переходить к тождественным выражениям без них.

Пример:

3*(2+6)=3*2+3*6

Это и есть переход к тождественным выражениям без скобок, то есть их раскрытие.

Сам процесс избавления, или раскрытия рассматривается еще в пределах школьной программы. Самые простые выражения учатся решать школьники начальных классов.

Если посмотреть на процесс шире, и выйти за пределы стандартной школьной программы, можно увидеть, что с помощью таких действий можно решать выражения с отрицательными числами.

Пример:

2+(-1)-(-4).

В итоге после раскрытия получаем:

2-1+4

Можно раскрывать скобки в выражениях с числовым и буквенным произведением. В данном случае произведение будет заменено суммой:

(x+y)*(z+e) заменяем на x*z+x*e+y*z+y*e.

Раскрытие скобок в математике может предполагать работу с дробями, уравнениями, и прочими видами переменных. Рассмотрим подобный пример более детально:

y² *(2/b+√y-cos(a))

После преобразования будет иметь следующий вид:

у² *2/b+y²*y-y²*cos(a)

Есть еще одна особенность, которая заслуживает внимания. Правила раскрытия скобок не исключают возможности оформления преобразованного выражения с исходным через знак равенства. Берем пример 2-(6-4). Если мы преобразуем его, получим: 2-6+4. Между исходным и полученным вариантами можно поставить знак равенства: 2-(6-4)=2-6+4

Если приходится решать длинные примеры со множеством действий, может потребоваться записывать промежуточные результаты:

5-(3-(2-1))=5-(3-2+1)=5-3+2-1 или 5-(3-(2-1))=5-3+(2-1)=5-3+2-1

Раскрытие скобок и приведение подобных с примерами

Правила и закономерности раскрытия скобок зависят от того, какие числа или буквенные выражения заключены в скобках.

Одиночные цифры в скобках

В скобках могут быть размещены, как положительные, так и отрицательные числа. Начнем с положительных цифр. Для более детального и понятного разбора любое положительное число представим, как x. В таком случае можно заменить x на x, +(x) на +x, -(x) на –x.

Теперь возьмем реальный пример, где вместо x будут числовые значения. В соответствии с правилом, число 4 мы представим, как 4, выражение 2+(4) будет иметь вид 2+4 в связи с тем, что +(4) преобразуется в +4. Выражение 2+(-4) при раскрытии скобок будет выглядеть, как 2-4, так как +(-4) аналогично -4.

Если имеет дело с положительными цифрами, скобки можем просто опустить, так как они не имеют никакого смысла.

Из приведенных выше примеров вытекает первое правило:

Если перед скобками стоит знак плюс, то все числа, которые стоят внутри, сохраняют свой знак.

Примеры:

• (-2) превратится в -2;
• (-1)+2 превратится в -1+2;
• 5+(-2) будет иметь вид 5-2;
• -(-1) превратится в +1.

Преобразование выражений, где есть произведение, происходит по-другому. Выражение 2*(-1) записать, как 2*-1 невозможно.

Согласно правилам разность b-a равна b+(-a). Исходя из этого, можно сформировать цепочку:

(b+(-a))+a=b+((-a)+a)=b+0=b, что будет вполне закономерно.

Эта цепочка доказывает, что b+(-a) это та же разность b-a.

Если опираться на основы вычитания и правила вычитания отрицательных чисел, то мы получим:

• -(-b)=b;
• b-(-a)=b+a.

Иногда встречаются выражения с большим количеством скобок. Раскрытие скобок и приведение подобных в таких примерах производится последовательно с учетом всех существующих правил.

Рассмотрим подробнее. Если взять выражение -(-((-(2)))), то избавляться от скобок стоит, начиная изнутри выражения:

-(-((-(2))))=-(-((-2)))=-(-(-2))=-(2)=-2.

Под буквами a и b можно понимать не только буквенные, но и любые численные выражения, которые имеют впереди знак плюс и не рассматриваются в контексте сложения или вычитания. В таких случаях правила действуют точно так же, как и в рассмотренных примерах.

К примеру, после раскрытия скобок выражение \[-(-2 \cdot x)-\left(x^{2}\right)+\left(-\frac{1}{x}\right)-\left(2 \cdot x \cdot y^{2}: z\right)\] примет вид \[2 \cdot x-x^{2}-\frac{1}{x}-2 \cdot x \cdot y^{2}: z \]. Как мы это сделали? Мы знаем, что \[-(-2 \cdot x)\] есть \[+2 \cdot x\], а так как это выражение стоит вначале, то \[+2 \cdot x\] можно записать как \[2 \cdot x,-\left(x^{2}\right)=-x^{2}\], \[+\left(-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x} n-\left(2 \cdot x \cdot y^{2}: z\right)=-2 \cdot x \cdot y^{2}: z\].

Правила раскрытия скобок с произведением двух чисел

Наиболее типичный случай – когда x и y – это две положительные цифры. В таком случае если мы берем две отрицательных цифры, то их произведение будет выглядеть так:

(-x)*(-y)=(x*y)

Если две цифры имеют противоположные знаки, то выражение преобразование произведения будет выглядеть так:

(-x)*(y) или (x)*(-y) = (-x*y)

Умножение двух отрицательных чисел дает в итоге положительное, а произведение плюса на минус или минуса на плюс дает минус.

Если речь идет о первой части приведенного примера, то будем использовать правило произведения двух отрицательных множителей. Во втором случае применено правило произведения цифр с разными знаками.

Произведение трех и более множителей

Чтобы правильно решать подобные примеры, потребуется применить следующее правило: при наличии четного количества отрицательных цифр скобки просто опускаются, знак меняется на противоположный. Полученный пример полностью берется в скобки.

Если количество множителей нечетное, скобки убираются, знак меняется на противоположный. Полученное выражение вновь помещается в скобки, перед которыми ставится знак «-».

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «плюс»

Простейший пример – когда перед скобками стоит знак «плюс», а внутри простые однозначные числа, которые не делятся и не умножаются. В соответствие с правилом знак вместе со скобками просто опускаются, а цифры внутри него знаков не меняют.

Пример:

(10-4)-1

Скобки просто убираем, все знаки цифр внутри сохраняем: +10-4-1=10-4-1

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «минус»

В качестве примера возьмем выражение, в котором впереди стоит знак «минус», а внутри однозначные числа, которые не делятся и не множатся.

Правило простое: скобки и минус опускаются, все знаки внутри меняются на противоположные.

Образец подобного выражения:

-(-5)=5

Раскрытие скобок, если они умножаются на одиночное число или выражение

Формула будет выглядеть так:

\[(a 1 \pm a 2 \pm \ldots \pm a n) \cdot b=(a 1 \cdot b \pm a 2 \cdot b \pm \ldots \pm a n \cdot b)\] или \[b \cdot(a 1 \pm a 2 \pm \ldots \pm a n)=(b \cdot a 1 \pm b \cdot a 2 \pm \ldots \pm b \cdot a n), \text { где } a 1, a 2, \ldots, \text { an и } b\] — некоторые числа или выражения.

Рассмотрим преобразование выражений на простом примере:

2*(8-5)

Если действовать по правилам, получаем:

2*8-2*5

Раскрытие скобок при произведении одной скобки на другую

Чтобы понять правило, рассмотрим общий макет:

(x1+x2)*(y1+y2)

Чтобы упростить поставленную задачу, (y1+y2) пометим, как y.

В результате получим преобразованное выражение, где можно применить правило умножения скобки на выражение.

(x1+x2)*(y1+y2)= (x1+x2)*y=(x1*y+x2*y)= x1*y+x2*y

Теперь возвращаемся обратно и производим снова замену, только теперь уже y на первоначальное (y1+y2).

Получаем:

x1*(y1+y2)+x2(y1+y2)=(x1*y1+x1*y2)+(x2*y1+x2*y2)= x1*y1+x1*y2+x2*y1+x2*y2

Полученную формулу можно применять для любых выражений, независимо от количества составляющих. В конечном счете, мы всегда приходим к сумме произведений каждого слагаемого первой скобки на каждое из слагаемых второй и последующих составляющих.

Раскрытие скобок с произведением двух и более множителей

Если выражение содержит три и более составляющих со скобками, каждые из них раскрываются поочередно в той последовательности, в которой идут в примере.

(3+1)*2*(6+4)

Здесь видим три множителя:

• первый (3+1);
• второй 2;
• третий (6+4).

(3+1)*2*(6+4)=( (3+1)*2)*(6+4)

Используем все то же умножение правило преобразования при умножении скобку на одиночное число:

(2*3+2*1)*(6+4)=2*3*6+2*3*4+2*1*6+2*1*4

Скобки в натуральной степени

Степени, основания которых представлены выражениями в скобках, при условии, что множители – натуральные числа, можно преобразовывать, как произведение двух и более скобок.

Формула в данном случае выводится следующая:

Рассмотрим процесс преобразования выражения \[(a+b+c)^{2}\] . Ero можно записать в виде произведения двух скобок \[(a+b+c) \cdot(a+b+c) \]. Произведем умножение скобки на скобку и получим \[a \cdot a+a \cdot b+a \cdot c+b \cdot a+b \cdot b+b \cdot c+c \cdot a+c \cdot b+c \cdot c\].

Деление одной скобки на другую или на одиночную цифру

Деление на одиночное число предусматривает деление каждого слагаемого на это число:

(a3-a)/2=a3/2-a/2

В сложных ситуациях можно заменить деление произведением и применить правило умножения скобки на число. Эту же закономерность можно использовать, если речь идет о двух скобках.

Пример:

Заменим деление умножением: \[\left(\frac{1}{x}+x+1\right) \cdot \frac{1}{x+2}\].

Выполним умножение: \[\left(\frac{1}{x}+x+1\right) \cdot \frac{1}{x+2}=\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x+2}+x \cdot \frac{1}{x+2}+1 \cdot \frac{1}{x+2} \].

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени. Порядок выполнения действий:

• первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
• на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных; -заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.