Теорема Виета

История происхождения

Теорема Виета — это понятие знакомо практически каждому со школьных времен. Но действительно ли это «знакомо»? Мало кто сталкивается с ним в повседневной жизни, но не все, кто занимается математикой, иногда до конца понимают глубокий смысл и огромное значение этой теоремы. Поняв важность такого простого и эффективного математического инструмента, невольно думаешь о человеке, который его первым открыл.

Известный французский ученый, начал свою карьеру юристом, но, очевидно, его призванием была математика. Находясь на королевской службе в качестве советника, он прославился тем, что смог прочитать перехваченное зашифрованное сообщение короля Испании в Нидерланды. Это дало возможность французскому королю Генриху III узнать обо всех намерениях его противников. Постепенно присоединяясь к математическим знаниям, Франсуа Виет пришел к выводу, что должна быть тесная связь между новейшими исследованиями «алгебраистов» и глубоким геометрическим наследием древних. В ходе научных исследований он разработал и сформулировал почти всю элементарную алгебру. Он был первым, кто ввел использование буквенных величин в математическом аппарате, четко обозначив понятия: число, значение и их взаимосвязь. Виет доказал, что, выполняя операции в символической форме, можно решить задачу для общего случая, практически для любых значений данных величин.

Его исследования по решению уравнений более высоких степеней, чем вторая, привели к теореме, которая теперь известна как обобщенная теорема Виета. Это имеет большое практическое значение, а его применение позволяет быстро решать уравнения более высокого порядка.

Одно из свойств этой теоремы следующее: произведение всех n-й степени равно ее свободному члену. Это свойство часто используется при решении уравнений третьей или четвертой степени, чтобы понизить порядок полинома. Если полином степени n имеет целые корни, то их легко определить простым методом выбора. И тогда, поделив многочлен на выражение (x-x1), мы получим многочлен (n-1) -й степени.

В технических науках существует огромное количество способов решения квадратных уравнений.  Со временем, многие решают уравнения, даже, устно без применения письменных принадлежностей.

Теорема Виета, является одним из таких методов решения. Она довольно проста в использовании и понятна даже на начальном уровне изучения в школах. В данном материале подробно разберем теорему Виета. Выведем формулы для ее доказательства.

При решении квадратных уравнений можно наблюдать целый ряд взаимодействий. Наиболее явным считается, взаимосвязь между корнем значения и примененным коэффициентом.

Сумма значений корня равняется x^2 + bx + c = 0 будет равна коэффициенту второй с обратным знаком.

Произведение корней равняется простому числу.

При заданном уравнении x^2 + bx + c = 0, будут справедливы два основных равенства.

x_1+x_2=-b;

x_1⋅x_2=c.

Проведя анализ обоих уравнений, приходим к выводу, что оба выражения являются правдивыми.

Рассмотрим пример решения задачи, с использованием теоремы Виета:

Запишем следующее уравнение: x^2+4x+3=0.

Используя теорему, можно записать, что сумма корней равна второму значению коэффициента, у которого противоположный знак.

Применяемый коэффициент равен четырем, следовательно, преобразуем уравнение и получим значение минус четыре.

x_1+x_2=-4;

Значение произведения корней равно простому числу. В уравнение это будет число три.  Следовательно:

x_1+x_2=-4;

x_1⋅x_2=3.

Далее проверим правдивость составленных уравнений, а именно равенство произведения 3 и суммы -4.  Для этого необходимо вычислить квадратные корни заданного уравнения.

x^2+4x+3=0

Применим для этого формулы второго четного значения коэффициента.

α=1,k=2,c=3;

D_1=-〖-k〗^2-ac=2^2-1⋅3=4-3=1;

x_1=(-k+√(D_1 ))/α=(-2+√1)/1=(-2+1)/1=(-1)/1=-1;

x_1=(-k-√(D_1 ))/α=(-2-√1)/1=(-2-1)/1=(-3)/1=-3.

По итогам проведенных вычислений мы видим, что корни уравнения равны -1 и -3. Следовательно их сумма равняется заданному коэффициенту. Отсюда следует, что уравнение решено правильно.

x_1+x_2=-4.

-1+(-3)=-4.

Выполняется условие, на основание которого произведение данных корней равняется свободному числу.

x_1⋅x_2=3.

-1⋅(-3)=3.

Результат правильного вычисления:

x_1+x_2=-4.

x_1⋅x_2=3.

Основные формулы теоремы Виета

В этом пункте мы расширяем знания до класса задач, которые вращаются вокруг формул Виета, которые на самом деле не являются формулами в определенном смысле, а скорее очень полезными инструментами для извлечения информации о корнях многочлена, фактически не зная числового значения самих корней.

Для решения задач и уравнений как квадратных, так и кубических, применяются соответствующие формулы. в математике они получили название теоремы Виета.

Разберем подробно каждое уравнение:

Рассмотрим еще несколько формул:

x_1+x_2+x_3+x_4+………+x_n=-a_1/a_0;

x_1⋅x_2+x_3⋅x_4+………+x_(n-1)⋅x_n=a_2/a_0;

x_1⋅x_2⋅x_3+x_1⋅x_2⋅x_4+………+x_(n-2)⋅x_(n-1)=-a_3/a_0;

x_1⋅x_2⋅x_3……..x_n=(-1_ )〖^n〗⋅a_n/a_0.

Для определения основных формул теоремы Виета мы используем следующие компоненты:

• алгебраическая теорема разложения значений многочлена простые линейные множители значений;
• вычисление равных между собой многочленов, при помощи равенства их коэффициентов.

Обратная теорема Виета и ее особенности при решении задач

Значениями m и n обозначим квадратные корни уравнения. Сумма принятых значений равняется коэффициенту с противоположным знаком и произведение равняется свободному числу. x^2+4x+3=0

Запишем следующее равенство значений:

m+n=-b;

m⋅b=c.

Чтобы доказать, что принятые значения являются корнями уравнения, их необходимо подставить вместо значений x и вычислить.  Если после вычисления левая часть уравнения равна нулю, значит значения m и n являются корнями уравнения x^2+4x+3=0.

Выразим значение b из уравнения m+n=-b.

Для этого перемножим обе части уравнения на отрицательное значение -1.

m+n=-b⋅(-1);

-m-n=b;

b =-m-n.

Подставим значение m в уравнение, а выражение   -m-n, заменим вместо значения b.

x^2+bx+c=0;

m^2+(-m-n)m+mn=0;

m^2+(-m^2-mn)+mn=0;

m^2-m^2-mn+mn=0;

0=0.

Равенство получается верным. Следовательно, значение m является корнем уравнения. Аналогичные действия проводим и с числом n.

x^2+bx+c=0;

n^2+(-m-n)n+mn=0;

n^2-mn-n^2+mn=0;

0=0.

При x = n получается верное равенство. Следовательно, число n является искомым корнем. Проведя вычисления, мы доказали правдивость заданных значений корней. Выполним пример решения по данной теореме, для закрепления материала.

Задано уравнение: x^2-6x+8=0

Сумма произведения корневых значений равна 6.

Произведение корней равно 8.

x_1+x_2=6;

x_1⋅x_2=8.

Подберем значения корней, чтобы они удовлетворяли неравенству уравнений. Подбирать корни проще всего через их перемножение.

Замечание восемь получаем, когда перемножим четыре на два. Можно также записать как 8х1.

Значения〖 x〗_1 и x_2 надо подбирать так, чтобы они соответствовали и второму равенству тоже.

Поэтому значения 1 и 8 не подходят, потому что они не соответствуют нужным значениям уравнения. А вот числовые значения 4 и 2 являются правдивыми для данного уравнения.

x_1+x_2=6      4+2=6      

x_1⋅x_2=8      4⋅2=8

Следовательно значения 6 и 8 соответствуют нужным значениям и являются корнями уравнения: x^2-6x+8=0.

x_1=4; 〖x_2=2.〗^

Доказательство основной теоремы Виета

Приведем основную формулу рассматриваемой теоремы: α⋅x^2+b⋅x+c=0

Составим уравнение для значения x: x_1=(-b+√D)/(2⋅a)  и x_2=(-b-√D)/(2⋅a)Из формулы  выводим и определим значение D.

D=〖b^2-4⋅a⋅c,〗^  далее составим равенство известных нам выражений: x_1+x_2=-b/a   x_1⋅x_2=c/a.

Доказательство вышесказанного равенства гласит о правильности теоремы Виета.

Запишем как правильно звучит теорема №1

Основные доказательства правдивости данной теоремы

Для начала составим и вычислим сумма из корней, а также определим произведение этих же данных. Затем преобразуем значения, полученные в ходе вычислений. Это необходимо для того, чтобы убедиться, что они равны между собой.

-b/a и c/a.

Составляем уравнение из суммы квадратного корня значения:

x_1=(-b+√D)/(2⋅a)+(-b-√D)/(2⋅a)

Далее по правилам алгебры упрощаем уравнение. Дробные значения приводим к общему знаменателю числа.

(-b+√D)/(2⋅a)+(-b-√D)/(2⋅a)=(-b+√D+(-b-√D))/2a.

Затем упростим числитель дроби. Раскроем скобки и проведем преобразование дробного выражения.

x_1=(-b+√D)/(2⋅a)+(-b-√D)/(2⋅a)=(-b+√D+(-b-√D))/2a=(-b+√D-b-√D)/2a=(-2⋅b)/(2⋅a).

Полученное значение можно сократить и получить упрощенный вид.

x_1=(-b+√D)/(2⋅a)+(-b-√D)/(2⋅a)=(-b+√D+(-b-√D))/2a=(-b+√D-b-√D)/2a=(-2⋅b)/(2⋅a)=2 (-b)/a=-b/a.

Первое доказательство, связанное с сумой корней доказано.

Далее докажем второе соотношение из произведения корней.

Запишем и разберем уравнение произведения квадратных корней.

x_1⋅x_2=(-b+√D)/(2⋅a)⋅(-b-√D)/(2⋅a)

Применим правило перемножения дробных значений. Сделаем расчет и последнее значение запишем как:

((-b+√(D)))/(2⋅a)⋅((-b-√(D)))/(2⋅a) =((-b+√(D))⋅(-b-√(D)))/(4⋅a^2 ).

Преобразуем любым известным нам способом уравнение. Для этого подойдет способ разности значений квадратных чисел или перемножение скобок.

((-b+√(D)))/(2⋅a)⋅((-b-√(D)))/(2⋅a) =((-b+√(D))⋅(-b-√(D)))/(4⋅a^2 )=(〖(-b)〗^2-〖(√D)〗^2)/(4⋅a^2 ).

Вспомним определение корня квадрата и составим следующее уравнение:

((-b+√(D)))/(2⋅a)⋅((-b-√(D)))/(2⋅a) =((-b+√(D))⋅(-b-√(D)))/(4⋅a^2 )=(〖(-b)〗^2-〖(√D)〗^2)/(4⋅a^2 )=(b^2-D)/(4⋅a^2 ).

D=b^2-4⋅a⋅c соответствует дискриминанту квадратного уравнения.

Следовательно, значение D можно заменить следующим выражением: b^2-4⋅a⋅c

((-b+√(D)))/(2⋅a)⋅((-b-√(D)))/(2⋅a) =((-b+√(D))⋅(-b-√(D)))/(4⋅a^2 )=(〖(-b)〗^2-〖(√D)〗^2)/(4⋅a^2 )=(b^2-D)/(4⋅a^2 )=(b^2-(b^2-4⋅a⋅c))/(4⋅a^2 ).

Затем раскроем скобки уравнения и преобразуем подобные слагаемые:

(4⋅a⋅c)/(4⋅a^2 ).

Если произвести сокращение на число 4 , тогда остается только c/a.

Доказано второе соотношение корней уравнения теоремы Виета.

Запишем формулу доказательства без пояснения и постараемся ее запомнить.

x_1+x_2=(-b+√D)/(2⋅a)+(-b-√D)/(2⋅a)=(-b+√D+(-b-√D))/2a=(-2⋅b)/(2⋅a)=-b/a

x_1⋅x_2=((-b+√(D)))/(2⋅a)⋅((-b-√(D)))/(2⋅a) =((-b+√(D))⋅(-b-√(D)))/(4⋅a^2 )=(〖(-b)〗^2-〖(√D)〗^2)/(4⋅a^2 )=(b^2-D)/(4⋅a^2 )=(b^2-(b^2-4⋅a⋅c))/(4⋅a^2 )=(4⋅a⋅c)/(4⋅a^2 )=c/a.

В случае когда дискриминант квадратного уравнения равняется нулю, будет только один корень значения.

Чтобы применить теорему виета к такому уравнению, можно предположить, что оно имеет два одинаковых корня значения.

Если D=0, корень уравнения имеет значение равное (-b)/(2⋅a) .

x_1+x_2=(-b)/(2⋅a)+(-b)/(2⋅a)=((-b)+(-b))/2a=(-2b)/2a=-b/a;

x_1⋅x_2=(-b)/(2⋅a)⋅(-b)/(2⋅a)=((-b)⋅(-b))/(4a〖^2〗)==a^2/(4a〖^2〗);

Следовательно значение D равняется нулю, тогда b^2-4⋅a⋅c=0

⇒b^2=4⋅a⋅c.

b^2/(4a〖^2〗)=(4⋅a⋅c)/(4a〖^2〗)=c/a.

На практике данная теорема чаще всего применяется в виде уравнения x^2+р⋅х+q=0, где коэффициент равен единице.

Примеры решения задач

Для начала разберем примеры решения задач, которые требуют решения обратного теорем Виета.

Она применяется для проверки числовых значений вычисленных уравнений. А именно: являются ли полученные значения корнем заданного квадратного уравнения.

Для проверки вычислим сначала сумму значений. Следом посчитать разность и только потом проверить справедливость соотношений значений выражения.

x_1+x_2=-b/a   x_1⋅x_2=c/a.

Вычисление двух выражений говорит о том, что значения, полученные при вычислении, будут являться корнем уравнения.

Если одно из условий не выполняется, значить корнем уравнения вычисленное значение быть не может.

Пример №1:

Определить какая пара значений является корнями заданного уравнения.

x_1=-5,x_2=3;

x_1=√(-3),x_2=3+√3;

x_1=2+√7/2,x_2=2-√7/2.

Заданное уравнение: 4⋅x^2-16⋅x+9=0.

Расписав все известные значения перейдем к решению данной задачи.

Вычислим основные коэффициенты квадратного уравнения

4⋅x^2-16⋅x+9=0.

Где: значение a=4; b=-15; c=9.

Следуя теореме Виета сумма уравнения квадрата равняется -b/a или 16/4=4.

Произведение равно с/a  или  9/4.

Все три пары чисел, которые нам заданы сравним с полученным значением.

x_1+x_2=-5+3=-2

Данное значение отличается от 4, поэтому дальнейшая проверка является не целесообразной.

Согласно теореме, данные значения не могут быть корнями заданного в задаче уравнения.

x_1+x_2=-1-√3+3+√3=4.

Анализируя уравнение, можно сказать что условие первое теоремы соблюдается, а второе нет. Поэтому и эта пара чисел не подходит под значения корней выражения.

x_1+x_2=-1-√3+3+√3=4.

x_1⋅x_2=(1-√3)⋅(3+√3)=3+√3-3⋅√3=-2⋅√3

Полученный ответ отличается от значения 9/4. Следовательно и эта пара не подходит, как мы решили ранее.

x_1+x_2=2+√7/2+2-√7/2=4.

x_1+x_2=(2+√7/2)⋅(2-√7/2)=2^2-〖(√7/2)〗^2=4-7/4=16/4-7/4=9/4.

Оба условия выполняются и, следовательно, x_1 и x_2 являются корнями уравнения.

Пример №2:

Составляем и записываем уравнение из задания:

x^2-5⋅x+6=0.

Значения x_1 и x_2 могут быть корнями уравнения, только при соблюдении следующего условия теоремы

x_1+x_2=5

x_1⋅x_2=6

Подберем нужное сочетание из этих значений и получим следующие данные. Число 2 и 3. 2+3=5 и 2*3=6

Следовательно значения 2 и 3 коренные значения выражения.

Пример №3:

В этом примере будем использовать теорему для нахождения неизвестного значения корня.

Запишем квадратное уравнение 512⋅x^2-509⋅x-3=0

По заданию. нам нужно определить неизвестный корень уравнения.

Значение 1, по заданию является первым корнем заданного выражения. Сумма коэффициентов выражения равна нулевому значению. x_1=1.

Далее будем определять второй корень, используя данную нам теорему.

Запишем соотношение x_1⋅x_2=c/a

Отсюда следует следующее выражение: x_1=1

Второй корень будет определяться следующим образом: x_1⋅x_2=c/a

Получаем, что 1⋅x_2=-3/512,x_2=-3/512  

Ответ задачи будет: x_2=-3/512.

Пример №4:

Нужно составить квадратное уравнение, у которого известны значения корней.

Первый корень имеет значение -11; второе равно — 23

Предположим, что x_1=-11 и x_2=23.

Суммарное значение и произведение чисел равняется:

x_1+x_2=12;

x_1⋅x_2=-253.

Свободный член значения равняется -253.

Коэффициент второй равен -12.

Зная все необходимые данные мы можем составить искомое по заданию уравнение.

x^2-12⋅x-253=0

Ответ: x^2-12⋅x-253=0.

Пример №5:

Задано уравнение x^2-64⋅x-21=0.

Нужно по заданию определить, являются ли корни уравнения положительными значениями.

Корни уравнения по заданию положительными не могут быть, так как это будет противоречить основному закону теоремы. Так как должно выполняться следующее условие:

x_1⋅x_2=-21.

Это является невозможным, потому что оба значения корня имеют положительные числа.

Пример № 6:

Нам нужно выяснить, при каких данных значения r, квадратное уравнение имеет два корневых значения с разными значениями знаков.

Задано уравнение следующего типа:

x^2+(r+2)⋅x+r-1=0.

Для начала определим при каких значениях неизвестной r, в уравнение будет присутствовать два значения корня.

Определим дискриминант уравнения и запишем значения неизвестной, при которой он будет принимать значения со знаком плюс.

D=(r+2)〖^2〗-4⋅1⋅(r-1)=r^2+4⋅r+4-4⋅r+4=r^2+8.

Выражение r^2+8 будет иметь положительные данные при любых значениях неизвестной r. Из этого следует, что дискриминант будет больше нулевого значения, при любых значениях r.

Из этого следует, что выражение имеет два корневых значения. Значение r может иметь множество различных значений натуральных чисел.

Далее необходимо определить знаки значения корней. Данная ситуация возможна, только если произведение будет иметь отрицательное значение. Если вспомнить теорему Виета, умножение числовых данных корня, математического уравнения равняется простому действительному числу.

Сделаем вывод, что правильное решение задачи: когда значение r, не любое действительное число, а равное единице.

Запишем неравенство: r-1<0, r<1.

Из всех рассуждений при решении задач видно, что данная теорема значительно облегчает жизнь, при решении квадратных уравнений.

И никаких сложных формул, вычислений и дробей особо не применялось.

В этом материале мы познакомились с теоремой Виета.  Изучили ее основные формулы, правила и определения.

Теорема Виета является материалом довольно емким. Который включает в себя много различных моментов. Их необходимо учитывать при решении задач и примеров. А именно:

• принцип переноса знака запятой, на количество нулей;
• преобразование десятичных дробей в иной вид дроби.

Обязательно помнить один из главных моментов в алгебре, а именно деление на ноль. Точнее сказать его запрет. Всегда нужно, помнить, что на ноль деление запрещается. И если нулевое значение имеет числитель дроби, то она всегда будет приравнена к нулю.

Следует помнить основные доказательства теоремы.  Их две, и они взаимосвязаны между собой. Еще один важный момент — это то, что при определении корней уравнений, они должны соответствовать двум правилам теоремы. Значения корневых значений должны быть противоположны по значению, иначе это будет противоречить теореме.  Соблюдая все изученные характеристики и свойства, а также главные правила математики, можно решать задачи данного типа без особых трудностей.  Главное внимательно изучить весь материал и постараться запомнить самое основное. Особенно, это касается главных формул произведения и суммы корней значений.  Напоследок хотелось бы отметить, что теорема Виета — одна из самых важных тем в технических науках.